$$ \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\Ima}{Im} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\Mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\rg}{rg} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \DeclareMathOperator{\Id}{Id} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\xhookrightarrow}{\raisebox{\depth}{\rotatebox{180}{\reflectbox{$\hookrightarrow$}}}} \renewcommand{\th}{\text{th}} \DeclareMathOperator{\argth}{argth} \DeclareMathOperator{\Arg}{Arg} \newcommand\Isom{\mathcal{I}\text{som}} \newcommand{\DL}[1]{développement limité à l'ordre $#1$ en zéro}$$
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Chapitre 12 : Dérivabilité

Questions de cours

1. Donner la définition d'une fonction dérivable en $a\in\mathbb{R}$, puis sur un intervalle. Donner une interprétation géométrique en termes de pentes.

Définition : Dérivabilité ponctuelle
$\begin{array}{lcccc} \text{On dit que }f\text{ est dérivable en $a$ lorsque }\tau_a : & I\backslash\{a\} & \to & \mathbb{R} & \\ & x & \mapsto & \tau_a(x) = & \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \end{array}$
admet une limite finie quand $x$ tend vers $a (x\neq a)$.
Si c'est le cas, alors la limite en question est appelé nombre dérivée de $f$ en $a$ et noté $f'(a)$
Définition : Fonction dérivée
Soit $f : I\to \mathbb{R}$
1. On dit que $f$ est dérivable sur $I$ lorsque $f$ est dérivable en tout point de $I$ i.e. $f\in\cap\underset{a\in\mathbb{R}} \Delta^Ia(I,\mathbb{R})$
On note alors $f\in \Delta^1(I,\mathbb{R})$, on peut envisager la fonction
$\begin{array}{lccll} f' : & I & \to & \mathbb{R} &\\ & x & \mapsto & f'(x) & \text{appelé fonction dérivée de }f. \end{array}$
Interprétation géométrique :

$\displaystyle{}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est la pente de la corde qui relie les point $A(a;f(a))$ et $B(b;f(b))$ (coefficient directeur)
Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a)$ est la “pente limite" de cette courbe quand $x$ tend vers $a$.

2. Donner 3 exemples de fonctions continue non dérivable en zéro pour des raisons différentes.


3. Fonction valeurs absolue
$\begin{array}{cccc} f : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R}\\ & x&\mapsto& |x| \end{array}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ mais pas en zéro.
En effet si $a\neq 0$, si $a > 0$ alors $f : x\mapsto x$ dans un voisinage de $a$, donc dérivable en $a$ et $f'(a) = 1$ (cf 2.)
Si $a < 0$, alors $f : x\mapsto -x$ dans un voisinage de $a$
Donc $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = -1$
Si $a=0$, soit $x\neq 0$ $$\tau_a(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{|x|}{x} = \begin{array}{l}1\text{ si } x > 0\\ -1 \text{ si } x < 0 \end{array}$$ Donc $\exists f'_d(x) = 1$ et $\exists f'_g(x) = -1$
D'où le point anguleux.

$\begin{array}{lccc} 4. f : & \mathbb{R}_+ & \to & \mathbb{R}\\ & x & \mapsto & \sqrt{x} \end{array}$
4.1. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et $\forall a > 0$, $\displaystyle{}f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
4.2. $f$ n'est pas dérivable en zéro et admet une tangente verticale.

Preuve :
4.1. Soit $a > 0$, si $x\neq 0$, $x > 0$, alors on pose \begin{eqnarray*} \tau_a(x) &=& \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ &=& \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}\\ &=& \frac{x-a}{(x-a)(\sqrt{x}+\sqrt{a})}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} \xrightarrow[\substack{x\rightarrow a\\x\neq 0}]{}\frac{1}{2\sqrt{a}} \hspace{20pt}\text{car }\sqrt{\bullet}\text{ est continu en }a \end{eqnarray*} 4.2. En $a = 0$, si $x > 0$
$\displaystyle{}\tau_0(x) = \frac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0} = \frac{1}{\sqrt{x}}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}+\infty$


$\begin{array}{lccc} 5. f : & \mathbb{R}^* & \to & \mathbb{R}\\ & x & \mapsto & x\sin\left( \frac{1}{x} \right) \end{array}$ $\forall x \in \mathbb{R}^*, |f(x)|\leq|x|$
5.1 Montrons que $f$ admet un prolongement continue en zéro (on le note encore $f$)?
5.2. Ce prolongement est il dérivable en zéro ?

Réponse :
5.1. Si $x\neq 0$ alors $\displaystyle{}0\leq|f(x)| = \left| x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \right|$ car $\sin \leq 1$
Donc par encadrement, $f(x)\xrightarrow[\substack{x\rightarrow 0\\x\neq 0}]{}0$ (limite pointée)
D'où le prolongement continue en zéro obtenu en posant $f(0)=0$

5.2.Soit $x\neq 0$. On pose : $$\tau_0(x)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{x\sin\left( \frac{1}{x} \right)}{x}\hspace{20pt}\text{car }f(0)=0$$ $\displaystyle{}\tau_0(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ n'a pas de limite en $0^+$ (serpent frénétique).
Donc $f$ n'est pas dérivable en zéro.

3. Montrer que si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ continue en $a$.

Théorème :
Si $f$ est dérivable en $a$ alors $f$ est continue en $a$ (sans réciproque)
Preuve :
[identité de la derivée] $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a)\varepsilon(x)$ où $\varepsilon(x)\xrightarrow[x\rightarrow a]{}0$
Donc $f(x)\xrightarrow[x\rightarrow a]{}f(a)$ i.e. $f$ est continue mais pas dérivable en a.

4. Définir $C^1(I, \mathbb{R})$, $\Delta^2(I, \mathbb{R})$, $C^2(I, \mathbb{R})$ puis, pour $n\in\mathbb{N}^*$, $\Delta^n(I,\mathbb{R})$, $C^n(I, \mathbb{R})$ et $C^{\infty}(I, \mathbb{R})$

Définition :
On dit que $f$ est de classe $C^0$ sur $I$ lorsque $f$ est continue sur $I$
Définition :
On dit que $f$ est $\Delta^1$ sur $I$ lorsque $f$ est dérivable sur $I$
Définition :
On dit que $f$ est de classe $C^1$ sur $I$ lorsque $f$ est dérivable sur $I$ et $f'$ est continue sur $I$
Définition :
On dit que $f$ est $\Delta^2$ sur $I$ lorsque $f$ est dérivable, et $f'$ est aussi dérivable sur $I$
Définition :
On dit que $f$ est de classe $C^2$, lorsque $f$ est deux fois dérivable et $f''$ est continue.
Définition :
On dit que $f$ est de classe $C^n$ sur $I$ lorsque $f$ est $n$ fois dérivable et $f^{n}$ est continue sur $I$.
Définition :
On dit que $f$ est de classe $C^{\infty}$ lorsque $f$ est infiniment dérivable.
Définition :
On dit que $f$ est $\Delta^n$ sur $I$ lorsque $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ On note alors $f\in\Delta^2(I;\mathbb{R})$

5. SAVOIR REFAIRE : soit $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $f(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} x^2 \sin ( \frac{1}{x} ) & \text{ si }x\neq 0\\0 & \text{ si }x = 0 \end{array} \right.$ Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.La fonction $f'$ est elle continue en zéro ?


$\begin{array}{lccll} \text{Soit }f : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} & \\ & x\mapsto & f(x) = & \left\lbrace\begin{array}{ccc} x^2\sin\left(\frac{1}{2}\right) & \text{si} & x\neq 0\\0&\text{si}&x=0 \end{array}\right. \end{array}$
1. Montrons que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
2. Montrons que $f'$ n'est pas continue en zéro.

Réponse :
1. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ par produit et composition.
Montrons que $f$ est dérivable en zéro. Si $x=0$, on note : \begin{eqnarray*} \tau_0(x) &=& \frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ &=& \frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)-0}{x-0}\\ &=& x\sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*} $0\leq \tau_0(x)\leq x$ car $|\sin|\leq 1$
Donc par encadrement $\tau_0(x)\xrightarrow[x\rightarrow \dot 0]{}0$
Ainsi $f$ est dérivable en zéro et $f'(0) = 0$

Conclusion : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, D'où $f' : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$

2. Calculons $f'(x)$ pour $x\neq 0$ \begin{eqnarray*} f'(x) &=& 2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) + x^2 \times \left(\frac{-1}{x^2}\right)\cos\left(\frac{1}{x}\right)\\ &=& 2x \sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*} Remarque : par somme, produit, composition, $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$
Cependant on a vu que $x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\xrightarrow[x\rightarrow \dot 0]{}0$ mais $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ n'a pas de limite en zéro
Ainsi $f'$ n'a pas de limite en zéro.
En particulier $f'$ n'est pas continue en zéro.

6. Énoncer la formule de Leibniz. Et donner la dérivée $k^{\text{ième}}$ d'un polynôme de degré $n$ pour $k\geq n$

Théorème : Formule de Leibniz
Soit $f$ et $g$ dans $\Delta^n(I,\mathbb{R})$(où $n\in\mathbb{N}$).
On adopte la convention $f^{(0)}=f$ et $g^{(0)}=g$
Alors $$(f\times g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k \end{array}\right)f^{(k)}\times g^{(n-k)}$$
Lemme :
La dérvée $k^{\text{ième}}$ de $\varphi : x \mapsto x^n$ (n $\in \mathbb{N}$)
Si $k > n$ alors, $\varphi ^{(k)} = 0$
Si $0 \leq k < n$, alors $\displaystyle{} \varphi ^{(k)} = \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k} $
Lemme : bis
Si $P$ est un polynômes de degrés $n\in\mathbb{N}$.
Alors $\forall k > n$, $P^{(k)}=0$ et $P^{(n)}$ est une constante.

7. Soit $f : I\to J$ bijective et continue. Soit $b\in J$. A quelle condition sur $b$ la réciproque de $f$ est-elle dérivable en $b$ ? Préciser dans ce cas $(f^{-1})'(b)$

Théorème :
Soit $f : I \to J$ bijective et continue,
Soient $a \in I$ et $b \in J$ tq $f$ est dérivable en $a$
Ainsi :
1.$f^{-1}$ est dérivable en $f(a)$ ssi $f'(a) \neq 0.$
2.Et si c'est le cas, on a en posant $f(a) = b$ $$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'[f^{-1}]}$$

8. Interrogation sur la feuille "dérivées usuelles".

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Fonctions}&\mathscr{D}_f&\text{Dérivée}&\mathscr{D}_{f'}\\ \hline x^n (n\in\mathbb{N}^*) & \mathbb{R} & nx^{n-1}&\mathbb{R}\\ \hline x^{\alpha} (\alpha \in \mathbb{R}^*) & \mathbb{R}_+^* & \alpha x^{\alpha-1} & \mathbb{R}_+^*\\ \hline \displaystyle{}\frac{1}{x^n} (n\in\mathbb{N}^*) & \mathbb{R}^* & \displaystyle{}\frac{-n}{x^{n+1}} & \mathbb{R}^*\\ \hline e^x & \mathbb{R} & e^x & \mathbb{R}\\ \hline \ln(x) & \mathbb{R}_+^* &\displaystyle{} \frac{1}{x} & \mathbb{R}_+^*\\ \hline \sin(x) & \mathbb{R} & \cos(x) & \mathbb{R}\\ \hline \cos(x) & \mathbb{R} & -\sin(x) & \mathbb{R}\\ \hline \tan(x) & \displaystyle{}\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}\} & \displaystyle{}1+\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} &\displaystyle{} \mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}\}\\ \hline \arcsin(x) & [-1;1] & \displaystyle{}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & ]-1;1[ \\ \hline \arccos(x) & [-1;1] & \displaystyle{}\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} & ]-1;1[ \\ \hline \arctan(x) & \mathbb{R} & \displaystyle{}\frac{1}{1+x^2} & \mathbb{R}\\ \hline sh(x) & \mathbb{R} & ch(x) & \mathbb{R}\\ \hline ch(x) & \mathbb{R} & sh(x) & \mathbb{R}\\ \hline th(x) & \mathbb{R} & 1-th^2(x) = \displaystyle{}\frac{1}{ch^2(x)} & \mathbb{R}\\ \hline \end{array}$$

9. SAVOIR REFAIRE : énoncer et prouvé les deux théorèmes de Rolle. Dans quelles circonstances ces théorèmes sont-ils utiles ?

Théorème : Rolle A
Si $f : I\to\mathbb{R}$ et si $a\in \overset{\circ}I$, $a$ est dans l'intervalle de $I$ i.e. $a$ n'est pas au bord de $I$.
Si $f$ est dérivable en $a$ et présente en $a$ un extremum local alors $f'(a)=0$
Preuve :
Supposons que $f$ admet en $a\in\overset{\circ}I$ un maximum local .
$a$ étant intérieur, on dispose de $\alpha > 0$ tq $[a-\alpha ; a+\alpha]\subset I$ et $\forall x\in [a-\alpha ; a+\alpha], f(x)\leq f(a)$
Soit $x\in [a-\alpha ; a+\alpha]$, $x\neq a$
On pose $\displaystyle{}\tau_a(x) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
Si $a-\alpha \leq x < a$, alors $x-a < 0$ et $f(x)-f(a) \leq 0$, donc $\tau_a(x) \geq 0$
Or, $f$ étant dérivable en $a$, $\tau_a(x)\xrightarrow[x\rightarrow a^-]{}f'(a)$
Donc par passage à la limite $f'(a) \geq 0$
Si $a < x\leq a+x$, $x-a > 0$ et $f(x)-f(a) \leq 0$, donc $\tau_a(x) \leq 0$
Or, $\tau_a(x) \xrightarrow[x\rightarrow a^+]{}f'(a)$
Ainsi $f'(a)\leq 0$
Conclusion : $f'(a) = 0$
Théorème : Rolle B
Soit $a < b$ dans $\mathbb{R}$ et $f\in C^0([a;b],\mathbb{R})\cap\Delta^1(]a;b[,\mathbb{R})$
Si $f(a) = f(b)$, alors $\exists c\in ]a;b[$ tq $f'(c) = 0$
Preuve :
Par hypothèse $f$ est continue sur le segment $[a;b]$.
Donc (cf cours continuité), elle est bornée et elle atteint ses bornes.
On note donc $M = \underset{[a;b]}\max(f)$ et $m = \underset{[a;b]}\min(f)$
D'où $c_1$ et $c_2$ dans $[a;b]$ tq $M = f(c_1)$ et $m = f(c_2)$
Si $M=m$, alors $f$ est constante sur $[a;b]$, donc $f'$ est nulle sur $[a;b]$
On choisit $\displaystyle{}c=\frac{a+b}{2}\in ]a;b[$. ($f'(c)=0$)

Si $M\neq m$, alors $M$ ou $m$ est différent de $f(a)$
Par exemple $M\neq f(a)$(et donc $m\neq f(b)$)
Donc $c_1\neq a$ et $c_1\neq b$
Donc $f$ présente en $c_1$ un maximum (global) avec $c_1\in ]a;b[$
On peut alors appliquer Rolle A.
Ainsi $f'(c_1)=0$

10. SAVOIR REFAIRE : énoncé et prouvé le théorème des accroissements finis. Donner l'inégalité en corollaire.

Théorème :
Soient $a < b$ dans $\mathbb{R}$ et $f\in C^0([a;b],\mathbb{R})\cap \Delta^1(]a;b[,\mathbb{R})$
Alors $\exists c\in ]a;b[$ tq $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$
Preuve :
$\begin{array}{lccl} \text{On pose une fonction auxiliaire } \varphi : & [a;b] & \to & \mathbb{R}\\ & x & \mapsto & \displaystyle{}f(x)-\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)x \end{array}$
$\varphi \in C^0([a;b],\mathbb{R})\cap \Delta^1(]a;b[,\mathbb{R})$
$\displaystyle{}\varphi(a) = f(a) - a\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)$
$\displaystyle{}\varphi(b) = f(b) - b\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)$
$\displaystyle{}\varphi(b)-\varphi(a) = f(a)-f(b) - \left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)(b-a) = 0$
Donc $\varphi(a) = \varphi(b)$
D'après le théorème de Rolle B, $\exists c\in ]a;b[$, $\varphi'(c) = 0$
i.e. $\displaystyle{}f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = 0$
i.e. $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$
Corollaire : même hypothése
Si $f'$ est bornée sur $]a;b[$, on envisage alors
$||f'||_\infty = \sup \{ |f(x)| /x\in ]a;b[\}$
alors $|f(b) - f(a)| \leq ||f'||_\infty |b-a|$

11. Comment montrer qu'une fonction dérivable est lipschitzienne ?

Corollaire :
Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f\in \Delta^1(I,\mathbb{R}$)
Supposons que $f'$ est bornée sur I par $K > 0$ (i.e. $\forall x\in I; |f'(x)|\leq K$)
Alors $f$ est $K-$lipschitzienne sur $I$ i.e. $\forall(x,y)\in I^2, |f(x)-f(y)|\leq K|x-y|$
Remarque : Si $f \in C^1([a;b];\mathbb{R})$ alors $f'$ est continue sur le segment $[a;b]$, elle est donc bornée.
Ainsi toute fonction $C^1$ sur un segment est K-lipschitzienne.

12. SAVOIR REFAIRE : énoncé et prouvé le théorème donnant le sens de variation d'une fonction selon le signe de la dérivée. Donner une CNS pour une stricte monotonie.

Théorème :
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ d'intérieur non vide et $f\in \Delta^1(I,\mathbb{R})$ tq $f' \geq 0$ sur $I$
Alors :
1. $f$ est croissante sur $I$
2. $f$ est strictement croissante sur $I$ ssi $f'$ ne s'annule sur aucune “véritble" intervalle de $I$ (i.e. d'intérieur non vide).
Preuve :
1. Soient $x\leq y$ dans $I$
D'où d'après le théorème des acroissements finis, $c\in ]x;y[$ tq $$f(y)-f(x) = \underbrace{f'(c)}_{=0}\underbrace{(y-x)}_{=0}$$ Donc $f(x) \leq f(y)$

2. $f$ est croissante.
$f$ n'est pas strictement croissante ssi il existe $x < y$ dans $I$ tq $f(x) = f(y=$ i.e. $f$ est constante sur $[x;y]$
Selon le théorème suivant, cela signifie qu'il existe $x < y$ tq $f'$ est nulle sur $[x;y]$

13. Énoncer le théorème de conditions suffisante de dérivabilité.

Théorème : de la limite de la dérivé
Soient $a < b$ dans $\mathbb{R}$ et $f\in C^0([a;b],\mathbb{R})\cap \Delta^1(]a;b[,\mathbb{R})$
1. On suppose $f'(x)\xrightarrow[x\rightarrow a^+]{}\ell\in\mathbb{R}$
Alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \ell$
2. On suppose $|f'(x)|\xrightarrow[x\rightarrow a^+]{}+\infty$
Alors $f$ n'est pas dérivable en $a$ et on a une tangente verticale en $a$.

14. SAVOIR REFAIRE : soit $(u_n)$ la suite récurrente définie par $u_0 = 1$ et $\displaystyle{}u_{n+1} = \frac{1}{2}\arctan(u_n)$. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}, 0\leq u_n \leq 2^{-n}$


$\begin{array}{lccl} \text{Soit }f : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R}\\ & x & \mapsto & \displaystyle{}\frac{1}{2}\arctan(x) \end{array}$
Si $x\in\mathbb{R}$, $\displaystyle{}f'(x) = \frac{1}{2}\frac{1}{1+x^2}$
Donc $|f'(x)|\leq \frac{1}{2}$ ($\displaystyle{}K = \frac{1}{2} < 1$)
D'après le Théorème d'accroissement finis
$\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2, |f(x)-f(y)|\leq \frac{1}{2}(x-y)$
Point fixe : $l=0$ ($\arctan(0) = 0$)
Montrons que $u_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0$
Soit $n\in\mathbb{N}$, $\displaystyle{}|u_{n+1}-0| = |f(u_n)-f(0)|\leq \frac{1}{2}|u_n-0|$
Donc $\forall n\in \mathbb{N}$, $\displaystyle{}|u_{n+1}| \leq \frac{1}{2}|u_n|$
... aqt ... $\displaystyle{}|u_n|\leq \left(\frac{1}{2}\right)^n|u_0|$
Donc $u_n\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{}0$ à une vitesse au moins géométrique.
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