Chapitre 15 : Espaces vectoriels de dimension finie
Questions de cours
1. Donner la définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Comment définit-on alors la dimension ?
Définition :
On dit qu'un $K$-espace vectoriel $E$ est de dimension fini s'il contient une partie génératrice finie.
Définition :
Si $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, on appelle dimension de $E$ le cardinal commun à toutes les bases de $E$.O, le note $\dim(E)$ ou $\dim_K(E)$
2. Que dire du cardinal d'une famille libre / génératrice dans un espace vectoriel de dimension finie. Comment montrer qu'une telle famille est une base ?
Théorème :
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension fini $ = n\in\mathbb{N}^*$Alors :
1. Si $(\ell_i)_{i\in I}$ est une famille libre alors $\text{card}(I) \leq n$
1. Si $(g_j)_{j\in J}$ est une famille libre alors $\text{card}(J) \geq n$
Théorème :
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension fini tq $\dim E = n$ ($n\in \mathbb{N}$)Soit $(e_1,..., e_n)$ une famille de cardinal $n$
Alors :
1. $(e_1,..., e_n)$ est libre $\Rightarrow$ $(e_1,..., e_n)$ est une base
2. 1. $(e_1,..., e_n)$ est génératrice $\Rightarrow$ $(e_1,..., e_n)$ est une base
3. Citer le théorème de la base incomplète en dimension finie
Théorème :
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension fini $n\in\mathbb{N}^*$ et $(u_1,...,u_p)$ une famille libre de $E$ tq $p<n$Alors il est possible de la completer en une base de $E$.
Plus précisement si $\{E_i\}_{i\in I}$ est une partie génératrice de $E$ alors il existe $\alpha_{p+1},..., \alpha_{n}$ dans $I$ tq $(u_1,...,u_p,e_{\alpha_{p+1}},...,e_{\alpha_n})$ soit une base de $E$.
4. Comment montrer en dimension finie que deux sous-espace vectoriel sont égaux ?
Théorème :
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finiAlors :
1. Tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est aussi de dimension fini $\dim F \leq \dim E$
2. Si $\dim E = \dim F$ alors $F = E$
5. Citer le théorème du rang. Si $f\in \mathcal{L}(E,F)$ avec $E$ de dimension finie, que dire de $\dim(f(E))$ ? Que dire de si $f$ est injective ?
Théorème : du rang
Soient $E$ et $F$ des $K$-espace vectoriel, $f\in\mathcal{L}(E,F)$On suppose que la source $E$ est de dimension fini.
Alors :
1. $\text{Im}(f)$ est de dimension fini et $\dim(\text{Im}(f))\leq \dim(E)$
2. $\dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f)) = \dim(E)$
Corollaire : 1
Un endomorphisme injectif conserve ses dimensions.
6. SAVOIR REFAIRE : si $f\in \mathcal{L}(E,F)$ avec $\dim(E) = \dim(F)$, alors $f$ est injective ssi $f$ est surjective ssi $f$ est bijective
Corollaire : 2
Soient $E$ et $F$ dans $K$-espace vectoriel de dimension fini tq $\dim(E) = \dim(F)$.Si $F\in\mathcal{L}(E,F)$ alors $f$ injective $\Leftrightarrow$ $f$ surjective.
Preuve :
Supposon que $f$ est injectivedonc $\ker(f) = \{0_E\}$
ainsi $\dim(\ker(f)) = 0$
D'après le théorème du rang, $\dim(E) = \dim(\text{Im}(f)) + \underbrace{\dim(\ker(f))}_{=0}$
Or $\dim(E) = \dim(F)$
Ainsi $\Im(f) \subset F$ et $\dim(\text{Im}(f)) = \dim(F)$ donc $\text{Im}(f) = F$
Donc $f$ est surjective.
Réciproquement, supposons que $f$ est surjective i.e. $\text{Im}(f) = F$
Or d'après le théorème du rang $\dim(E) = \dim(\text{Im}(f)) + \dim(\ker(f))$
Donc $\dim(E) = \dim(F) + \dim(\ker(f))$
or $\dim(E) = \dim(F)$
Donc $\dim(\ker(f)) = 0$
Donc $\ker(f) = \{0_E\}$
Donc $f$ est injective.
7. SAVOIR REFAIRE : énoncé et prouver l'égalité de Grassmann.
Théorème : Égalité de Grassmann
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension fini, $F$ et $G$ des sous-espca vectoriel de $E$Alors $\dim(F+G) = \dim(E)+\dim(G) - \dim(F\cap G)$
Preuve :
Appliquons le théorème du rang à une application linéaire.
$\begin{array}{lccl}
\text{Soit }s : & F\times G & \to & F+G\\
& (x;y) & \mapsto & x+y
\end{array}$$s$ est bien linéaire.
J'affirme que $f$ est surjective
En effet tout éléments du but $F+G$ s'écrit $x+y$ avec $x\in F$ et $y\in g$ donc $\text{Im}(s) = F+G$
Déterminons le noyau de $s$
Soit $(x;y)F\times G$
$\begin{array}{lcc} (x;y)\in \ker(s) & \text{ssi} & s(x,y) = 0_E\\ & \text{ssi} & x+y = 0_E\\ & \text{ssi} & y = -x \end{array}$
donc $\ker(s) = \left\lbrace (x;-x/x\in F\cap G) \right\rbrace$
J'affirme que $\ker(s) \sim F\cap G$
$\begin{array}{lccl} \text{En effet, soit }f : & F\cap G & \to & \ker(s)\\ & x & \mapsto & (x;-x) \end{array}$
$f$ est surjective car $\ker(s) = \left\lbrace (x;-x/x\in F\cap G) \right\rbrace$
$f$ est injective, car $\ker(f) = \{0_E\}$, en effet si $f(x) = (0_E,0_E)$, alors $(x;-x) = (0_E;0_E)$ donc $x=0_E$
Donc $f$ est un isomorphisme de $F\cap G$ dans $\ker(s)$
Donc $\dim(\ker(s)) = \dim(f\cap G)$
On applique le théorème du rang à $s$
$\dim(\ker(s))+ \dim(\text{Im}(s)) = \dim(F\times G)$
i.e. $\dim(F\cap G) + \dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G)$
D'où l'égalité de Grassmann
8. Comment prouver en dimension finie que $E = F\oplus G$ (où $F$ et $G$ sont des $H$-espace vectoriel de dimension finie)
Corollaire : de Grassmann
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension fini, $F$ et $G$ des sous-espace vectoriel de $E$.Alors $E = F \oplus G$ ssi $\left\lbrace \begin{array}{l}F\cap G : \{0_E\}\\\text{ et } \dim(F)+\dim(G) = \dim(E) \end{array} \right.$
9. Donner la définition d'un hyperplan dans un esapce vectoriel de dimension finie, puis donner une définition généralisant les hyperplan en dimension quelconque.
Définition :
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finiOn appelle hyperplan de $E$ tout sous espace vectoriel de dimension $\dim(E) - 1$
Définition : généralisé
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel et $H$ un sous-espace vectoriel
On dit que $H$ est un hyperplan de $E$ lorsque $H$ admet pour supplémentaire une droite vectoriel
10. Si $f\in\mathcal{L}(E)$, a-t-on toujours $E = \ker(f) \oplus \text{Im}(f)$ ?
Théorème du rang : $\dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f)) = \dim(E)$
D'après l'égalité de Grassmann : $\ker(f) \oplus \text{Im}(f) = E$ ssi $\ker(f) \cap \text{Im}(f) = \{0_E\}$
Cependant cette contradiction n'est pas toujouts vérifiée.
Contre-exemple : considérons un endomorphisme nilpotent d'ordre 2 i.e. tq $f\circ f = 0_{\mathcal{L}(E)}$ et non nul i.e. $\text{Im}(f) \subset \ker(f)$. Ainsi $\text{Im}(f) \cap \ker(f) = \text{Im}(f) \neq \{0_E\}$
11. Donner $\dim(E\times F)$, $\dim(\mathcal{L}(E))$ et $\dim(E^*)$ si $E$ et $F$ sont des $K$-espace vectoriel de dimension finie.
$\dim(E\times F) = \dim(E) + \dim(F)$, $\dim(\mathcal{L}(E)) = \dim(E)^2$ et $\dim(E^*) = \dim(E)\times \dim(K) = \dim(E)$
12. Donner la définition du rang d'une famille de vecteurs.
Définition :
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel, $(a_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs de $E$.On dit que cette famille et de rang fini lorsque $\text{vect}\{a_i/i\in I\}$ est de dimension fini.
On définit alors sont rang $$\text{rg}(a_i)_{i\in I} = \dim(\text{vect}\{e_i/i\in I\})$$
13. Qu'est ce qu'une application linéaire de rang fini. Définir sont rang. Quel est le rapport avec le rang d'une famille de vecteurs ?
Définition :
Soient $E$ et $F$ des $K$-espace vectoriel et $f\in\mathcal{L}(E,F)$On dit que $f$ est de rang fini lorsque $\text{Im}(f)$ est de dimension fini. On définit alors sont rang par $$\text{rg}(f) = \dim(\text{Im}(f))$$ Théorème (liens avec le rang d'une famille)
Si $E$ est de domension fini et à pour base $(e_1,...,e_n)$
Alors $\text{rg}(f) = \text{rg}(f(e_1),..., f(e_n))$
14. Donner la définition d'un sous-espace affine d'une espace vectoriel. Qu'appelle-ton sa direction ?
Définition :
On appelle sous espace affine de $E$ tout translaté d'un sous-espace vectoriel de $E$i.e. $\mathscr{F}\subset E$ est un sous-espace affine de $E$ ssi il existe un sous-espace vectoriel $F$ et un vecteur $a\in E$ tq $\mathscr{F} = t_a(F)$
15. Donner une CNS pour qu'un sous-espace affine soit un sous-esapce vectoriel.
Théorème :
1. Si $\mathscr{F}$ est un sous-espace ffine de $E$, alors il existe un unique sous-espace vectoriel $\overrightarrow{F}$ de $E$ tq $\forall b\in \mathscr{F}$, $\mathscr{F} = t_b(\overrightarrow{F})$. Ce sous-espace vectoriel est appellé la direction de $\mathscr{F}$2. $\forall(a,b)\in \mathscr{F}^2$, $a-b \in \overrightarrow{F}$
3. $\mathscr{F}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $0_E\in \mathscr{F}$
16. Soit $\varphi : E\to F$ une application linéaire et $b\in F$ fixé. Résoudre l'équation affine $\varphi(x) = b$
Définition :
Soient $E$ et $F$ des $K$-espace vectoriel, $\varphi\in\mathcal{L}(E,F)$ et $b\in F$.On dit que l'équation $\varphi(x) = b (\mathscr{E})$ d'inconnu $x\in E$ est une équation affine.
notation pour l'enssemble des solution :
- $\mathscr{S}_E = \{x\in E/\varphi(x) = b\}$
- $\mathscr{S}_{EH} = \{x\in E/ \varphi(x) = 0_F\}$
Résolution de l'équation affine $(\mathscr{E})$
$1^{\text{er}}$ cas : Si $b\notin \text{Im}(\varphi)$, alors $(\mathscr{E})$ n'admet pas de solution.
$2^{\text{nd}}$ cas : Si $b\in\text{Im}(\varphi)$, alors soit $x\in E$ un antécédent de b par $\varphi$ i.e. $\varphi(x) = b$
Alors : \begin{eqnarray*} (\mathscr{E}) & \Leftrightarrow & \varphi(x) = \varphi(x_0)\\ & \Leftrightarrow & \varphi(x)-\varphi(x_0) = O_F\\ &\Leftrightarrow & \varphi(x-x_0) = 0_F \hspace{20pt}\text{car }\varphi\text{ linéaire}\\ & \Leftrightarrow & (x-x_0)\in \ker(\varphi)\\ &\Leftrightarrow & x = y+x_0 \text{ ou } y\in\ker(\varphi)\\ &\Leftrightarrow & x\in t_{x_0}(\ker(\varphi)) = \ker(\varphi) + x_0 \end{eqnarray*} Ainsi $\mathscr{S}_E$ est un sous-espace affine de $E$ dirigé par $\ker(\varphi)$
L'ensemble des solution d'une équation affine est soit vide, soit un sous-espace affine de $E$
17. SAVOIR REFAIRE : Soient $(a,b)\in \mathbb{R}^2$. Montrer que l'ensemble des solution de $u_{n+2} = au_{n+1} + bu-n$ ($\star$) est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension 2.
Définition :
On appelle suite récurrente linéaire d'ordre 2 une suite réelle ou complexe $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifiant une équation de type : $\forall n\in$, $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$ $(\mathscr{E})$, $(a,b)\in\mathbb{R}^2$
$\varphi$ est linéaire
J'affirme que $\varphi$ est un isopmorphisme.
En effet si $(\alpha, \beta)\in\mathbb{R}^2$ (but) alors il existe une unique suite vérifiant $(\mathscr{E})$ tq $\left\lbrace\begin{array}{c} u_0 = \alpha \\ u_1 = \beta \end{array}\right.$
Donc $(\alpha, \beta)$ admet un unique antécédent par $\varphi$. Donc $\varphi$ est bijective.
Donc $\mathscr{S}_{\mathscr{E}}\sim \mathbb{R}^2$, ainsi $\mathscr{S}_{\mathscr{E}}$ est de dimension fini et $\dim(\mathscr{S}_{\mathscr{E}}) = \dim(\mathbb{R}^2) = 2$
18. Suites récurrentes linéaire d'ordre 2 : préciser les solution réelles de ($\star$) selon le signe de $\Delta$.
Suite récurrente linéaire du second ordre : $au_{n+2}+bu_{n+1}+cu_n = 0$, $a, b, c$ réels avec $a\neq 0$
On cherche une base de solution sous la forme $u_n = r^n$ où $r\in\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$)
D'ou l'équation caractéristique $ar^2+br+c = 0$ ($EC$)
On pose $\Delta = b^2-4ac$
1. Si $\Delta > 0$ : alors ($EC$) admet deux racines réelles distinctes $r_1 \neq r_2$.
Solutions : $u_n = \lambda r_1 + \mu r_2$ $(\lambda, \mu)\in\mathbb{R}^2$
2. Si $\Delta = 0$ alors $(EC)$ admet une racine double;
Solutions : $u_n = \lambda t^n + \mu nr^n$ $(\lambda, \mu)\in\mathbb{R}^2$
3. Si $\Delta < 0$ alors $(EC)$ admet deux racines complexes conjuguées $r$ et $\overline{r}$, ou $r = \rho_0 e^{i\theta_0}$ ($\rho_0 \geq 0$ et $\theta_0\in\mathbb{R}$)
Solutions : $u_n = \lambda \rho_0^n\cos(\theta_0 n) + \mu \rho_0^n\sin(\theta_0 n)$ $(\lambda, \mu)\in\mathbb{R}^2$
19. EDL d'ordre 1 : soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $a$, $b$ dans $C^0(I,\mathbb{R})$. Rappeler la méthode de résolution de $y' = a(x)y+b(x)$. Comment fait-on pour trouver une solution particulière ?
Soient I un intervalle de $\mathbb{R}$ et $\overset{\circ}{I}\neq \emptyset$
On considère l'équation différentielle : $y' = a(t)y+b(t)$\hspace{20pt}$(\mathscr{E})$
$\begin{array}{lccl} \text{Modélisation : soient }E = \Delta^1(I,\mathbb{R})\text{, }F = \mathscr{F}(I,\mathbb{R})\text{ et }\varphi : & E & \to & F\\ & u & \mapsto & y'-ay \end{array}$
$(\mathscr{E})\Leftrightarrow \varphi(y) = b$
Donc $(\mathscr{E})$ est une équation affine.
Ici on peut toujours trouver une solution particulière (SP) $U$ par la méthode de la variation de la constante.
On sait aussi que $\ker(\varphi) = \text{vect}\{y_0\}$ ou $\begin{array}{lccll} \text{On sait aussi que }\ker(\varphi) = \text{vect}\{y_0\}\text{ ou }y_0 : & I & \to & \mathbb{R} & \text{où }A\text{ est une primitive de }a\text{ sur }I\\ & t & \mapsto & e^{A(t)} \end{array}$
Ainsi $\mathscr{S}_{\mathscr{E}} = \{U+\lambda y_0/\lambda\in\mathbb{R}\}$
C'est une droite affine car $\dim(\ker(\varphi)) = 1$
20. EDL d'ordre 2 : soient $a$, $b$, $c$, des constantes réelles avec $a\neq 0$. Même question pour les solutions réelles de $ay'' + by' + cy = d(x)$ où $d\in C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$, selon le signe de $\Delta$.
Équation différentielle linéaire du second ordre : $aay''+by'+cy = 0$, $a, b, c$ réels avec $a\neq 0$
On cherche une base de solution sous la forme $y : t\mapsto e^{rt}$ où $r\in\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$)
D'ou l'équation caractéristique $ar^2+br+c = 0$ ($EC$)
On pose $\Delta = b^2-4ac$
1. Si $\Delta > 0$ : alors ($EC$) admet deux racines réelles distinctes $r_1 \neq r_2$.
Solutions : $y : t\mapsto \lambda e^{r_1t}+\mu e^{r_2t}$
2. Si $\Delta = 0$ alors $(EC)$ admet une racine double;
Solutions : $y : \mapsto \lambda e^{rt} + \mu te^{rt}$ $(\lambda, \mu)\in\mathbb{R}^2$
3. Si $\Delta < 0$ alors $(EC)$ admet deux racines complexes conjuguées $r$ et $\overline{r}$, ou $r = \alpha_0 + i\beta_0$ ($\alpha_0\in\mathbb{R}$ et $\beta_0\in\mathbb{R}$)
Solutions : $y : \mapsto \lambda e^{\alpha_0 t}\cos(\beta_0 t) + \mu e^{\alpha_0 t}\sin(\beta_0 t)$ $(\lambda, \mu)\in\mathbb{R}^2$