$$ \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\Ima}{Im} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\Mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\rg}{rg} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \DeclareMathOperator{\Id}{Id} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\xhookrightarrow}{\raisebox{\depth}{\rotatebox{180}{\reflectbox{$\hookrightarrow$}}}} \renewcommand{\th}{\text{th}} \DeclareMathOperator{\argth}{argth} \DeclareMathOperator{\Arg}{Arg} \newcommand\Isom{\mathcal{I}\text{som}} \newcommand{\DL}[1]{développement limité à l'ordre $#1$ en zéro}$$
LMPrépa

Chapitre 16 : Polynômes

Questions de cours

1. Donner la définition rigoureuse d'un polynôme.

Définition :
On appelle polynôme à coefficient dans $K$ toute suite $presque nulle$ d'éléments de $K$ i.e. toute suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de $\mathscr{F}(\mathbb{N},K)$ qui stationne à $0_K$ i.e. il existe un certain $N\in\mathbb{N}$ tq $\forall n\geq N$, $a_n : 0_K$
$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} = (a_0,a_1,...,a_n,0_K,0_K,...)$

Leur ensemble est noté $K[X]$ et $K[X]\in \mathscr{F}(\mathbb{N},K)$

2. Définir degré et coefficient dominent. Qu'est ce qu'un polynôme unitaire ?

Définition : degré
Soit $\displaystyle{} P = \sum_{n\in\mathbb{N}}a_nX^n\in K[X]$
On appelle degré de $P$ la quantité $d^{\circ}P = \sup\{n\in\mathbb{N}/a_n\neq 0_K\}$
Définition : coefficient dominant
Si $P\neq 0$, on appelle coefficient dominant de $P$ le coefficient $a_n$ où $n=d^{\circ}P$
Définition : polynôme unitaire
On appelle polynôme unitaire un polynôme dont le coefficient dominant est égal à $1_K$

3. Exprimer les coefficient dominant de $P \times Q$ en fonction de ceux de $P$ et $Q$.

Définition :
Soient $\displaystyle{}P = \sum_{n\in\mathbb{N}}a_nX^n$ et $\displaystyle{} Q = \sum_{n\in\mathbb{N}}b_nX^n$ dans $K[X]$. On définit alors $P\times Q$ comme le polynôme $\sum_{n\in\mathbb{N}}c_nX^n$, où pour $n\in \mathbb{N}$, $c_n = \sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$

4. Donner les propriétés du degré.

Théorème :
Soient $P$ et $Q$ dans $K[X]$
Alors :
1. $d^{\circ}(P+Q) \leq \max\{d^{\circ}P;d^{\circ}Q\}$ avec égalité lorsque $d^{\circ}P\neq d^{\circ}Q$
2. $d^{\circ}(P\times Q) = d^{\circ}P + d^{\circ}Q$

5. SAVOIR REFAIRE : montrer que $K[X]$ est intègre.

Théorème :
L'anneau $(K[X],+,\times)$ est intègre si $P$ et $Q$ sont dans $K[X]$ et si $P\times Q = 0$
Alors $P$ ou $Q$ est nul.
Preuve :
Soient $P$ et $Q$ dans $K[X]$ tq $P\times Q = 0$
Donc $d^{\circ}(P\times Q) = d^{\circ}0 = -\infty$
or $d^{\circ}(P\times Q) = d^{\circ}P + d^{\circ}Q$
Ainsi $d^{\circ}P + d^{\circ}Q = -\infty$
Ainsi $d^{\circ}P = -\infty$ ou $d^{\circ}Q = -\infty$
Donc $P=0$ ou $Q=0$

6. Donner une base de $K[X]$ où $K_n[X]$ est intègre (où $n\in\mathbb{N}$).

Théorème :
$(1,X,X^2,...,X^n,...)$ est une base de $K[X]$ (base canonique, liste infinie)
Si $n\in\mathbb{N}$, $K_n[X]$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $K[X]$ et $\dim(K_n[X]) = n+1$ dont une base est $(1,X,X^2,...,X^n)$

7. SAVOIR REFAIRE : Montrer qu'une famille échelonnée en degré est libre dans $K[X]$.

Théorème :
Toute famille de polynômes échelonnée en degré est libre.
Preuve :
On réordonne la famille de sorte que $d^{\circ}P_1 < ... < d^{\circ}P_n$
Soient $\lambda_1,...,\lambda_n$ dans $K$ tq $\lambda_1P_1 +...+ \lambda_nP_n = 0_{K[X]}$.
Montrons que $\lambda_1 =...=\lambda_n = O_K$
Par l'absurde, on suppose qu'ils ne sont pas tous nuls.
J'envisage $r = \max\{k\in [\![ 1;n]\!]/\lambda_k \neq 0_K \}$
Ainsi $\lambda_1P_1+...\lambda_rP_r = 0$ $$\underbrace{P_r}_{d^{\circ}P_r} = -\frac{1}{\lambda_r}\underbrace{(\lambda_1P_1+...+\lambda_{r-1}P_{r-1})}_{\text{par somme degré } < d^{\circ}P_r}$$ D'où la contradiction.

8. Définir la divisibilité dans $K[X]$. Donner la définition de deux polynômes $P$ et $Q$ associés. Que dire de deux polynômes unitaires associés ?

Définition :
Soient $A$ et $B$ dans $K[X]$. On dit que $A$ divise $B$, ou que $A$ est un diviseur de $B$, ou que $B$ est un multiple de $A$ lorsqu'il existe un certain $P\in K[X]$ tq $B = P\times A$
On note $A|B$
Théorème :
Soient $A$ et $B$ dans $K[X]$.
Alors $(A|B\text{ et }B|A)\Leftrightarrow (\exists \lambda\in K^*, A = \lambda B)$
On dit alors que les polynômes $A$ et $B$ sont associés.

Deux polynômes unitaires associés sont égaux.

9. Polynômes irréductibles : donner la définition et deux exemples de degré différent dans $\mathbb{R}[X]$.

Définition :
On dit que $P\in K[X]$ est irréductible dans $K[X]$ lorsque :
- $P$ est non constant ($d^{\circ}P\geq 1$)
- ses seuls diviseurs sont les $\lambda\in K^*$ et les $\lambda P$ où $\lambda \in K^*$
Exemples :
1. Les polynômes de degré 1 sont tous irréductibles dans $K[X]$
2. Dans $\mathbb{R}[X]$ si $P = aX^2+bX+c$ avec $a,b,c$ réels et $a\neq 0$. Alors $P$ est irréductible ssi $\Delta < 0$

10. Énoncer le théorème de division euclidienne dans $K[X]$.

Théorème :
Soient $A$ et $B$ dans $K[X]$, avec $B\neq 0$
Alors il existe un unique couple $(Q;R)$ dans $K[X]^2$ tq $A = BQ+R$ et $d^{\circ}R < d^{\circ}B$.
$Q$ est le quotient et $R$ le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$.

11. SAVOIR REFAIRE : soient $\lambda\in K$ et $O\in K[X]$. Montrer que $\lambda$ est racine de $P$ si et seulement si $(X-\lambda)$ divise $P$.

Théorème :
Soient $\lambda\in K$ et $P\in K[X]$.
Alors $\lambda$ est racine de $P$ dans $K$ ssi $(X-\lambda)$ divise $P$ ssi $\exists Q\in K[X]$ tq $P = (X-\lambda)Q$
Preuve :
$\begin{array}{lccl} \text{Soit }P\in K[X]\text{, d'où }\tilde P : & K & \to & K\\ & x & \mapsto & \tilde P(x) \end{array}$
Soit $\lambda \in K$. Si $(X-\lambda)|P$, on dispose de $Q \in K[X]$ tq $P = (X-\lambda)Q$
Alors $\tilde P : x\mapsto (x-\lambda)\tilde Q(x)$
Donc $\tilde P(\lambda) = (\lambda - \lambda)\tilde Q(\lambda) = 0$
Donc $\lambda$ est racine de $P$.

Réciproquement, supposons que $\lambda$ est racine de $P$.
On effectue la division euclidienne de $P$ par $(X-\lambda)$ d'où un unique couple $(Q,R) \in K[X^2]$ tq $\left\lbrace\begin{array}{l} P = (X-\lambda)Q + R\\ d^{\circ}R < d^{\circ}(X-\lambda) = 1\end{array}\right.$
Donc $R$ est une constante. On note $\mu = R\in K$
$P = (X-\lambda)Q+\mu$
Or $\tilde P(\lambda) = 0$ i.e. $(\lambda-\lambda)\tilde Q(\lambda) + \mu = 0$
donc $\mu = 0$ et $P = (X-\lambda)Q$
Donc $(X-\lambda)|P$

12. SAVOIR REFAIRE : Soit $P$ un polynôme de degré $n\in \mathbb{N}$. On suppose que $P$ admet $n+1$ racines distinctes. Montrer que $P=0$.

Corollaire :
Si $P\in K[X]$ avec $d^{\circ}P\leq n\in\mathbb{N}$ et si $P$ admet $n+1$ racine distinctes dans $K$ alors P = 0.
Preuve :
Soit $P\in K[X]$ tq $d^{\circ}\leq n$
On suppose que $P$ admet $n+1$ racines distinctes notées $\lambda_1,...,\lambda_{n+1}$ dans $K$
On applique le théorème à $\lambda_1$
D'où un certain $Q_1\in K[X]$ tq $P=(X-\lambda_1)Q_1$
$\tilde P(\lambda_2) = 0_K$, donc $\underbrace{(\lambda_2-\lambda_1)}_{\neq 0_K}\tilde Q_1(\lambda_2) = 0_K$
Donc $\tilde Q_1(\lambda_2) = O_K$ i.e. $\lambda_2$ est racine de $Q_1$ dans $K$
On applique le théorème à $Q_1$
D'où $Q_2\in K[X]$ tq $Q_1 = (X-\lambda_2)Q_2$
ainsi $P = (X-\lambda_1)(X-\lambda_2)Q_2$
Or $\tilde P(\lambda_3) = 0$ i.e. $(\lambda_3-\lambda_1)(\lambda_3-\lambda_2)\tilde Q_2(\lambda_3) = 0$
Donc $\tilde Q(\lambda_3) = 0_K$
D'où $Q_{n+1}\in K[X]$ tq $\underbrace{P}_{d^{\circ}\leq n} = \underbrace{(X-\lambda_1)\times...\times (X-\lambda_{n+1})}_{d^{\circ} = n+1}Q_{n+1}$
$n\geq d^{\circ}P = n+1 +d^{\circ}Q_{n+1}$
Si $Q_{n+1}\neq 0$, alors on a un problème de degré.
Ainsi $Q_{n+1} = 0$, donc $P = 0$

13. Comment montrer qu'un polynôme est nul via les racines ?

Corollaire :
Un polynôme qui admet une infinité de racines est nul

14. Définition de la multiplicité d'une racine? Racine simple, double, triple...

Définition : Multiplicité des racines
Soient $P\in K[X]$, $\lambda\in K$ et $d\in \mathbb{N}$
On dit que $\lambda$ est racine de $P$ de multiplicité exactement $d$ / d'ordre $d$ lorsque $(X-\lambda)^d| P$ et $(X-\lambda)^{d+1}\not\vert P$
i.e. $\exists Q\in K[X]$ tq $P = (X-\lambda)^dQ$ avec $\tilde Q(\lambda) \neq 0_K$

15. SAVOIR REFAIRE : Énoncé et preuve de la formule de Taylor dans $K[X]$.

Théorème : Formule de Taylor dans $K\lbrack X\rbrack$
Soient $a\in K$ et $P\in K[X]$,
Alors $$P = \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{P^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n$$
Preuve :
$\begin{array}{lccl} \text{Soient }N\in\mathbb{N}\text{ et }L : & K_N[X] & \to & K_N[X]\\ & P \mapsto & \displaystyle{}P-\sum_{n=0}^N\frac{P^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n \end{array}$
Il s'agit de prouver que $L$ est nulle.
NB : si $P\in K_N[X]$ et $n > N$, alors $P^{(n)}=0$
Donc $\displaystyle{} \sum_{n=0}^N\frac{P^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n = \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{P^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n$

J'affirme que $L$ est linéaire.

Il suffit de montrer que $\forall k\in \mathbb{N}$, $L(X^k) = 0$
En effet $(X^k)_{0\leq k \leq N}$ est une base de $K_N[X]$ et une application linéaire nulle sur une base est nulle sur l'espace tout entier.
On note donc $P=X^k$ montrons que $L(X^k) = 0$ (où $k\in\mathbb{N}$ est fixé) \begin{eqnarray*} P' &=& kX^{k-1}\\ P'' &=& k(k-1)X^{k-2}\\ \vdots &=& \vdots\\ P^{(n)} &=& \frac{k!}{(k-n)!}X^{k-n} \hspace{20pt} \text{si }n\leq k \end{eqnarray*} Ainsi $\left\lbrace\begin{array}{l}P^{(n)}(a) = \frac{k!}{(k-n)!}a^{k-n} \hspace{20pt} (\text{si }n\leq k)\\ P^{(n)}(a) = 0 \hspace{20pt} (\text{si }n > k) \end{array}\right.$
Ainsi $\displaystyle{}L(X^k) = X^k - \sum_{n=0}^k \frac{P^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n$ \begin{eqnarray*} L(X^k) &=& X^k - \sum_{n=0}^k \frac{k!}{(k-n)!n!}a^{k-n}(X-a)^n\\ &=& X^k \sum_{n=0}^k \left( \begin{array}{c}k\\n\end{array} \right) (X-a)^n a^{k-n}\\ &=& X^k-(X-a+a)^k\\ &=& X^k-X^k\\ &=& 0 \end{eqnarray*}

16. SAVOIR REFAIRE : Caractérisation de la multiplicité d'une racine à l'aide des dérivées nièmes.

Théorème : Multiplicité d'une racine
Soit $P\in K[X]$, $P\neq 0$, $a\in K$ et $d\in\mathbb{N}^*$
Alors $a$ est racine de $P$ de multiplicité exactement $d$ ssi $\left\lbrace\begin{array}{l}P(a) = ... = P^{(d-1)}(a) = 0_K\\ P^{(d)}(a) \neq 0_K \end{array}\right.$
Caractérisation :
On utilise la formule de Taylor : $$P = \sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{P^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n$$ Soit $d\in\mathbb{N}^*$ $$P = \underbrace{\sum_{n=0}^{d-1}\frac{P^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n}_{\text{noté }R} + \underbrace{\sum_{n\geq 1}\frac{P^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n}_{\text{noté }T}$$ Remarque : $\displaystyle{}T = \frac{P^{(d)}(a)}{n!}(X-a)^d + \frac{P^{(d+1)}(a)}{n!}(X-a)^{n+1} + ...$
On peut le factoriser par $(X-a)^d$
D'où un certain $Q\in K[X]$ tq $T = (X-a)^dQ$
Ainsi $P = (X-a)^dQ+R$ et $d^{\circ}R < d = d^{\circ}((X-a)^d)$
Ainsi $Q$ et $R$ sont les quotient et le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^d$
Prouvons l'équivalence
On suppose que $P(a)=...=P^{(d-1)}(a) = 0_K$ et $P^{(d)}\neq 0_K$
$R = 0$, donc $P = (X-a)^dQ$
Ainsi $(X-a)^d|P$
or $\displaystyle{}Q = \frac{P^{(d)}(a)}{d!} + \frac{P^{(d+1)}(a)}{(d+1)!}+...$
Donc $Q(a) \neq O_K$
Donc $(X-a)\not\vert Q$ i.e. $(X-a)^{d+1}\not\vert P$
Donc $a$ est racine de multiplicité exactement $d$ de $P$

Réciproquement, supposons que $a$ est de racine de multiplicité exactement $d$.
Donc $(X-a)^d|P$, donc $R = 0$ car c'est le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^d$
Or $\displaystyle{}R = \sum_{n+0}^{d-1}\frac{P^{(n)}(a)}{n!}(X-a)^n$
Donc $P(a) = P'(a)=...=P^{(d-1)}(a)=0_K$
Ainsi $P=(X-a)^dQ$
$(X-a)^{d+1}\not\vert P$ donc $(X-a)\not\vert Q$
Donc $Q(a) \neq 0_K$
Donc $P^{(d)}(a)\neq 0_K$

17. Énoncé le théorème d'Alembert-Gauss. Quels sont les polynômes irréductible de $\mathbb{C}[X]$ ?

Théorème :
Tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ admet au moins une racine complexe.
Corollaire :
Les polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ sont exactement ceux de degrés 1

18. Soit $z\in \mathbb{C}$ une racine de $P \in \mathbb{R}[X]$. Que dire ? Donner des polynômes irréductible de $\mathbb{R}[X]$

Lemme :
Si $P\in \mathbb{R}[X]$ est non constant et si $z$ est racine complexe de $P$ alors $\overline{z}$ aussi.
Théorème :
Les polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont exactement ceux de degré 1 et ceux de degré 2 qui ont un discriminant $\Delta < 0$

19. Définir les fonctions symétriques élémentaires des racines pour un polynôme de degrés 3. Donner les relations coefficients/racines dans le cas général.

Définition :
Soit $P\in K[X]$ scindé.
On écrit $P = a_nX^n+...a_1X+a_0$ où $a_n\neq 0_K$.
On note $\alpha_1,...,\alpha_n$ ses racines dans $K$ que l'on répète avec ordre de multiplicité de sorte que $\displaystyle{}P = a_n \prod_{k=1}^n(X-a_k)$
On appelle fonction symétrique en les racines les quantités $$\sigma_1 = \sum_{k=1}^n \alpha_k\hspace{20pt}\sigma_2 = \sum_{1\leq i < j \leq n}\alpha_i\alpha_j \hspace{20pt}...\hspace{20pt}\sigma_n = \sum_{A\leq i_1 < ... < i_n\leq n}\alpha_{i_1}\times...\times \alpha_{i_n} = \prod_{i=1}^n \alpha_i$$

20. Écrire un polynôme unitaire de degré 2,3,4 ou plus en remplaçant les coefficients par les fonction symétriques $\sigma_k$.

Corollaire :
$$\frac{1}{a_n}P = X^n-\sigma_1X^{n-1}+\sigma_2 X^{n-2}+...+(-1)^n\sigma_n$$

21. SAVOIR REFAIRE : polynômes interpolateurs de Lagrange

22. SAVOIR REFAIRE : Les polynômes de Tchebychev

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