Chapitre 21 : Le groupe symétrique
Questions de cours
1. Définir $\sigma_n$ et donner son cardinal. Qu'est ce qu'une permutation ? Définir son support.
Définition :
L'ensemble $\sigma_n$ des permutations de $\{1,...,n\}$ est l'ensemble des bijections de $\{1,...,n\}$ dans $\{1,...,n\}$.Notation : $\sigma\in\sigma_n$ se note $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n
\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \cdots & \sigma(n)\end{pmatrix}$
$\card(\sigma_n) = n!$
Définition :
Une permutation de $\{1,...,n\}$ est une bijection de $\{1,...,n\}$ dans $\{1,...,n\}$.
Définition :
Si $\sigma\in\sigma_n$, on appelle support de $\sigma$ l'ensemble des éléments de $\{1,...,n\}$ qui ne sont pas invariant par $\sigma$
$$\sup(\sigma) = \{k\in \{1,...,n\}/\sigma(k)\neq k\}$$
2. Décrire explicitement $\sigma_3$. Comment êtes-vous sûr(e) de n'avoir rien oublié ?
$\card(\sigma_3) = 3è = 6$
On distingue clairement : $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3
1 & 2 & 3 \end{pmatrix} (\Id\{1,2,3\})\hspace{20pt}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3
2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \text{ "Transposition" qui échange 1 et 2}$
On a deux autres transpositions : $(1,3)$ échange 1 et 2, $(2,3)$ échange 2 et 3.
Il nous reste $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3
3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3
2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
Cela nous fait bien 6 éléments. Il n'y en a pas d'autres $$\sigma_3 = \{\Id;(1,2);(1,3);(2,3);(1,2,3);(1,3,2)\}$$
3. Définition d'une transposition.
Définition :
Soit $n\geq 2$On appelle transposition de $\sigma_n$ une permutation $\tau$ qui échange 2 éléments $i$ et $j$ de $\{1,...,n\}$ et qui fixe les autres.
i.e. $\tau$ est une transposition de $\sigma_n$ ssi $\exists i\neq j$ dans $\{1,...,n\}$ tels que $\tau(i) = j$, $\tau(j)=i$ et $\tau(k) = k$ si $k\not\in \{i,j\}$
On note $\tau = (i,j)$
4. SAVOIR REFAIRE : preuve de la décomposition d'une permutation en produit de transpositions.
Théorème :
Si $n\geq 2$, alors toute permutation de $\sigma_n$ peut s'écrire comme un produit de transposition
Preuve :
Par récurrence sur $n\geq 2$Initialisation : $n=2$, $\sigma_2 = (\Id;(1,2))$
On note $\tau=(1,2)$
$\tau = \tau$ et $\Id = \tau \circ \tau$
Le résultat est vrai pour $n=2$
Hérédié : supposons que $\sigma_n$ est engendré par les transpositions. Montrons qu'il en va de même pour $\sigma_{n+1}$. On note $E_{n+1} = \{1,...,n+1\}$. Soit $\sigma\in\sigma_{n+1}$
$1^{\text{er}}$ cas : si $\sigma(n+1) = n+1$, soit $\tilde\sigma$ la restriction de $\sigma$ à $E_m = \{1,...,n\}$.
On a $\tilde\sigma(E_n)\subset E_n$ et $\tilde\sigma$ est encore injective (donc bijective). Ainsi $\tilde\sigma\in\sigma_n$
D'où la transpositions $\tilde\tau_1,...,\tilde\tau_p$ de $\sigma_n$ telles que : $\tilde\sigma = \tilde\tau_1\circ ... \circ \tilde\tau_p$ (par hypothése de récurrence).
On prolonge chaque $\tilde\tau_k$ en une transposition $\tau_k$ de $\sigma_{n+1}$ en posant $\tau_k(n+1) = n+1$.
On a alors $\sigma = \tau_1\circ ... \circ \tau_p$ (égalité vrai sur $E_n$ et aussi en $n+1$)
$2^{\text{nd}}$ cas : si $\sigma(n+1) \neq n+1$ i.e. $\sigma(n+1) = m\leq n$
Soit $\tau = (m;n+1)$. On pose $\tilde\sigma = \tau\circ\sigma = \tau_1\circ ... \circ \tau_p$
Ainsi $\tilde\sigma(n+1) = n+1$, d'où d'après le $1^{\text{er}}$ cas des transpositions $\tau_1,...,\tau_p$ de $\sigma_{n+1}$ telles que $\tilde\sigma = \tau_1\circ ... \circ \tau_q$ i.e. $\tau \circ \sigma = \tau_1\circ ... \circ \tau_q$ et en composant à gauche par $\tau^{-1} = \tau$ on obtient $\sigma = \tau\circ\tau_1\circ ... \circ \tau_q$, ce qui achève la récurrence.
5. Définition d'un cycle et propriétés élémentaires. Décomposer le cycle $(1,2,3,4)$ en produit de transpositions.
Définition :
Soient $n\geq 2, p\geq 2$ et $a_1,...,a_p$ des éléments distinces de $[\![ 1;n]\!]$.L'application $\sigma$ défini $e$ par
1. $\forall k\not\in \{a_1,...,a_p\}, \sigma(k)=k$
2. $\forall i\in [\![ 1 , p-1]\!], \sigma(a_i) = a_i+1$
3. $\sigma(a_p) = a_1$
est une permutation de $\{1,...,n\}$ noté $(a_1,...,a_p)$. Une telle permutation est appelée un $p-$cycle i.e cycle de longueur $p$.
Théorème : Propriétés
1. $\sup(a_1,...,a_p) = \{a_1,...,a_p\}$2. Si $\sigma$ est un $p-$cycle alors $\sigma^p = \underbrace{\sigma\circ ... \circ \sigma}{p\text{ fois}} = \Id$
3. Si $\sigma = (a_1,...,a_p)$ alors $\sigma^{-1} = (a_p,a_{p-1,...,a_1})$
6. Qu'est ce le conjugué d'une permutation par un autre ?
Théorème : Propriétés
Le conjugué d'un cycle par une permutations :$\forall\sigma\in\sigma_n$, $\sigma\circ (a_1,...,a_p)\circ\sigma^{-1} = (\sigma(a_1),...,\sigma(a_p))$
c'est le "conjugué" de $(a_1,...,a_p)$ par $\sigma$
7. Énoncer le théorème de décomposition en produit de cycles. L'appliquer à $\color{blue}\displaystyle{} \sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 3 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{pmatrix} $
Théorème : Décompostion en produit de cycles
Soit $n\geq 2$. Toute permutation de $\sigma_n$ est produit de cycles à supports disjoints.- Ce produit est commutatif
- Cette décomposition est unique, à l'ordre prés des facteurs.
8. Calculer $\sigma^{201}$ où $\color{blue}\displaystyle{}\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$
\begin{eqnarray*}
\sigma &=& (1,7)\circ(2,6)\circ(3,5)\\
\sigma^{201} &=& (1,7)^{201}\circ(2,6)^{201}\circ(3,5)^{201}\hspace{20pt}\text{car ils commutent}\\
&=& (1,7)\circ(2,6)\circ(3,5) \hspace{20pt}\text{cr 201 est impair}
\end{eqnarray*}
9. Définir la signature via le nombre d'inversions.
Définition : Nombre d'inversion d'une permutation
Soit $\sigma\in\sigma_n$. On dit que le couple rangé $(i,j)$ avec $i < j$ présente une inversion lorsque $\sigma(i) > \sigma(j)$. On note alors $I_{\sigma}$ leur nombre.
$$I_{\sigma} = \card\{(i,j)\in[\![ 1,n]\!]^2/i < j\text{ et }\sigma(i) > \sigma(j)\}$$
Définition : Signature
Si $\sigma\in\sigma_n$, on appelle signature de $\sigma$ le nombre $\varepsilon(\sigma) = (-1)^{I_{\sigma}}\in \{\pm 1\}$
- $\sigma$ est dite paire si $\varepsilon(\sigma) = 1$
- $\sigma$ est dite impaire si $\varepsilon(\sigma) = -1$
10. Énoncer les propriétés de morphisme de groupe de la signature.
Théorème :
Si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\sigma_n$, alors $\varepsilon(\sigma\circ\sigma') = \varepsilon(\sigma)\times\varepsilon(\sigma')$ i.e. $\varepsilon : (\sigma_n;\circ)\to (\{\pm 1\};\times)$ est un morphisme de groupes.
11. Quelle est la signature d'un cycle ? d'une transposition ?
La signature d'une transposition est -1
Théorème :
La signature d'un $p-$cycle est $(-1)^{p-1}$
12. Calculer la signature de }$\color{blue}\displaystyle{}\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7
4 & 7 & 5 & 6 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
On décompose $\sigma$ en produit de cycles : $\sigma = (1,4,6)\circ(2,7)\circ(3,5)$
$\varepsilon$ est un morphisme de groupe d'où $\varepsilon(\sigma) = (-1)^2\times(-1)\times(-1) = 1$
13. Définition du groupe alterné $\mathscr{A}_n$
Définition :
L'ensemble des permutations paires de $\sigma_n$, noté $\mathscr{A}_n$ est un sous groupe de $\sigma_n$, appelé groupe alterné.
14 SAVOIR REFAIRE : montrer que $\displaystyle{}\card(\mathscr{A}_n) = \frac{n!}{2}$.
Montrons que $\displaystyle{}\card(\mathscr{A}_n) = \frac{n!}{2}$
1. $\mathscr{A}_n$ est le noyeau de $\varepsilon$ : $\mathscr{A}_n = \{\sigma\in\sigma_n/\varepsilon(\sigma) = 1\}$ i.e. $\mathscr{A}_n = \varepsilon^{-1}(\{1\})$, c'est donc un sous groupe de $\sigma_n$
2. Si on note $\mathscr{I}_n$ les permutations impaires de $\sigma_n$
$\begin{array}{lccl} \text{Alors }\varphi : & \mathscr{A}_n & \to & \mathscr{I}_n\\ & \sigma & \mapsto & (1,2)\circ\sigma \end{array}$ est bien définie et c'est une bijection.
Donc $\displaystyle{} \card(\mathscr{A}_n) = \card(\mathscr{I}_n)$ et $\sigma_n = \mathscr{A}_n \bigsqcup \mathscr{I}_n$
d'où $\displaystyle{} \card(\mathscr{A}_n) = \frac{n!}{2}$
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