Chapitre 4 : Nombres complexes

Groupe additif : $(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{C},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{Z},+)$
Groupe multiplicatif : $(\mathbb{R}^*,\times)$, $(\mathbb{C}^*,\times)$, $(\mathbb{R}_+^*,\times)$, $(\mathbb{Q}^*,\times)$

Montrons que $(\sigma(E), \circ)$ est un groupe :

1. (I) Soient $f = E\to E$ et $g : E\to E$
Alors $f\circ g : E\to E$ est encore une fonction bijective.
Donc $f\circ g \in \sigma(E)$

2. (A) Cela vient de l'associativité des fonctions. Si $f$, $g$ et $h$ sont dans $\sigma(E)$, alors $(f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h)$

3. (N) Élément neutre : c'est $\text{Id}_E$
En effet si $f\in\sigma(E)$, alors $f\circ\text{Id}_E = \text{Id}_E\circ f = f$

4. (S) Soit $f\in \sigma(E)$, $f$ étant bijective on peut envisager sa réciproque. On a $f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f = \text{Id}_E$. Donc $f$ est symétrisable.

Conclusion : $(\sigma(E);\circ)$ est un groupe.

$z\in \mathbb{C}$ ssi $z = ai+b$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^2$
$a = \Re(z)$ partie réel et $b = \Im(z)$ partie imaginaire.
$z\in\mathbb{C}$ est imaginaire pur lorsque $\Re(z) = 0$ i.e. $z = iy$ où $y\in\mathbb{R}$
$z\in\mathbb{C}$ est un réel pur lorsque $\Im(z) = 0$ donc $z\in\mathbb{R}$.
Le module de $z$ est $\displaystyle{} |z| = \sqrt{a^2+b^2}$ (correspond à la distance $Oz$)

Cas de l'inégalité :

Soient $z$ et $z'$ dans $\mathbb{C}$ \begin{eqnarray*} |z+z'|^2 &=& |z|^2+|z'|^2+Z\Re(zz')\\ \left( |z|+|z'| \right)^2 &=& |z|^2+|z'|^2+2|z||z'|\\ &=& |z|^2+|z'|^2 + 2|z\overline{z'}| \hspace{20pt}\text{car }|z'|=|\overline{z'}| \end{eqnarray*} Or $\forall \omega\in\mathbb{C}, |\Re(\omega)|\leq |\omega|$ et $|\Im(\omega)|\leq |\omega|$

On applique ceci avec $\omega = zz'$ $$|z+z'|^2 = |z|^2+|z'|^2+2\Re(z\overline{z'}) \leq |z|^2+|z'|^2 + 2|z\overline{z'}| = \left( |z|+|z'| \right)^2$$ Donc $\sqrt{|z+z'|^2} \leq \sqrt{\left(|z|+|z'|\right)^2}$ car $\sqrt{.}$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$
Donc $|z+z'|\leq |z|+|z'|$

Cas d'égalité :

On procède par double implication
Supposons qu'il existe $\lambda\in\mathbb{R}_+$ tq $z = \lambda z'$ (idem pour $z'=\lambda z$) \begin{eqnarray*} |z+z'| &=& |\lambda z'+z'|\\ &=& |z'||1+\lambda|\\ &=& |z'|(1+\lambda) \hspace{20pt}\text{car }1+\lambda \geq 0 \end{eqnarray*} Par ailleurs \begin{eqnarray*} |z|+|z'| &=& |\lambda z'|+|z'|\\ &=& |\lambda| |z'|+|z'|\\ &=& (1+\lambda)|z'| \hspace{20pt}\text{car }\lambda \geq 0 \end{eqnarray*} Donc $|z+z'| = |z|+|z'|$

Réciproquement, supposons que $|z+z'| = |z|+|z'|$.
Donc $|z+z'|^2 = \left( |z|+|z'| \right)^2$
D'après le lemme \begin{eqnarray*} |z|^2+|z'|^2+2\Re(z\overline{z'}) &=& |z|^2+|z'|^2+Z|z\overline{z'}|\\ \Re(z\overline{z'}) &=& |z\overline{z'}| \end{eqnarray*} On pose $\omega = z\overline{z'}$, si $\omega = x+iy$ avec $(x,y)\in\mathbb{R}^2$
alors $\Re(\omega) = |\omega| \Rightarrow x = \sqrt{x^2+y^2}$
$\Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} x\geq 0 \\ x^2 = x^2+y^2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{c} x\geq 0 \\ y^2=0\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \omega\in \mathbb{R}_+$
D'où $\mu\in\mathbb{R}_+$ tq $z\overline{z'} = \mu$ $$z\overline{z'}z' = \mu z' = |z'|^2$$ Si $|z'|^2 \neq 0$ alors $\displaystyle{} z=\frac{\mu}{|z'|^2}\times z'$
d'où $\lambda \in \mathbb{R}_+$ tq $z = \lambda z'$
Si $|z'|^2=0$, alors $z' = 0$, on pose alors $\lambda = 0$, $z' = \lambda z$ ($0=0$)
D'où le résultat.

Montrons que $\mathbb{S}^1$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*,\times)$
1. Le neutre de $(\mathbb{C}^*,\times)$ i.e. A est bien dans $\mathbb{S}^1$ car $|1|=1$
2. Montrons que $\mathbb{S}^1$ est stable par $\times$
Soient $z$ et $z'$ dans $\mathbb{S}^1$ i.e. $|z|=1$ et $|z'|=1$
Montrons que $z \times z'\in\mathbb{S}^1$
Or $|z|times z' = |z|\times|z'| = 1\times 1 = 1$
donc $zz'\in \mathbb{S}^1$
3. Montrons que $\mathbb{S}^1$ est stable par passage au symétrique (ici c'est l'inverse)
Soit $z\in\mathbb{S}^1$, $\displaystyle{} \left| \frac{1}{|z|}\right| = \frac{1}{|z|} = \frac{1}{1} = 1$
Conclusion : $\mathbb{S}^1$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*,\times)$

Montrons que $\text{Im}(\exp_{\mathbb{C}}) = \mathbb{C}^*$
On procède par double implication.
Montrons que $\text{Im}(\exp_{\mathbb{C}}) \subset \mathbb{C}^*$
Soit $z\in\mathbb{C}$, Montrons que $e^z\in\mathbb{C}^*$, Montrons que $z^z\neq 0$
Or $|e^z| = e^{\Re(z)}>0$
Donc $|e^z|\neq 0$, donc $e^z\neq 0$
d'où la première inclusion.

Montrons que $\mathbb{C}^*\subset \text{Im}(\exp_{\mathbb{C}})$
Soit $\omega \in \mathbb{C}^*$
On cherche $z\in\mathbb{C}$ tq $\omega = e^z$
J'affirme que $\displaystyle{} \frac{\omega}{|\omega|}\in\mathbb{S}^1$
En effet $\displaystyle{} \left| \frac{\omega}{|\omega|} \right| = \frac{|\omega|}{|\omega|} = 1$
d'où d'après le cercle unité, un certain $\omega\in\mathbb{R}$ tq $\displaystyle{} \frac{\omega}{|\omega|} = e^{i\theta}$
Donc $\omega = |\omega|e^{i\theta}$
or $|\omega| \in \mathbb{R}_+^*$ et $\mathbb{R}_+^* = \exp(\mathbb{R})$
d'où un certain $x\in\mathbb{R}$ tq $|\omega| = e^x$
Ainsi $\omega = e^x\times e^{i\theta}$
On pose $z = x+i\theta$
Ainsi $\omega = e^z$ donc $\omega \in \text{Im}(\exp_{\mathbb{C}})$

$$ j = e^{i\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\hspace{20pt} j^2 = \overline{j}\hspace{20pt} j^3=1$$ $$1+j+j^2 = 0$$ $\text{R}_3 = \{z\in\mathbb{C}/z^3 = 1\}$ alors $\text{R}_3 = \{1,j,j^2\}$

On décrit $\text{R}_n$.
Soit $\displaystyle{}\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$
$\displaystyle{} \text{R}_n = \{\omega^k/k\in[\![ 0;n-1]\!]\}$
On note $\displaystyle{} S_n = \sum_{\alpha\in\text{R}_n}\alpha^p$ $$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left(\omega^k\right)^p = \sum_{k=0}^{n-1}\left(\omega^p\right)^k$$ $1^{\text{er}}$ cas : Si $\omega^p = 1$, alors $S_n = 0$

$2^{\text{ème}}$ cas : Si $\omega^p \neq 1$, alors $\displaystyle{} S_n = \frac{1-\omega^{pn}}{1-\omega^p}$
Or $\displaystyle{} \omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$, donc $\displaystyle{} \omega^{pn} = \left( \omega^n\right)^p = \left( e^{i\frac{2\pi}{n}}\right)^p = 1$ \begin{eqnarray*} \omega^p = 1 &\Leftrightarrow& e^{i\frac{2\pi p}{n}} = 1\\ &\Leftrightarrow& \frac{2\pi p}{n} \equiv 0[2\pi]\\ &\Leftrightarrow& \frac{2\pi p}{n} = 2\pi k \hspace{20pt} \text{où }k\in\mathbb{Z}\\ &\Leftrightarrow& \exists k\in \mathbb{Z}, p = kn\\ &\Leftrightarrow& p \text{ est un multiple de n }\\ &\Leftrightarrow& n|p \end{eqnarray*} Conclusion : Si $n\nmid p$ alors $S_n = 0$ et si $n|p$ alors $S_n = 0$

Racines $n$-ièmes de $a = fe^{i\theta}$ ($f>0$, $\theta\in\mathbb{R}$) $$\text{R}_n(a) = \{z\in\mathbb{C}/z^n=a\}$$

• Solution particulière = $\displaystyle{}z_0 = f^{\frac{1}{n}}e^{i\frac{\theta}{n}}$
  
• Solution générale : $\displaystyle{}\text{R}_n(a) = \{z_0.\omega^k/k\in[\![ 0,n-1]\!]\}$ où $\displaystyle{}\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$.
  "On fait tourner $z_0$ autour de l'origine en multipliant par les racines $n$-ièmes de l'unité" $\text{R}_n(a)$ forme encore les sommets d'un polygone régulier à $n$ cotés, mais de rayon $\displaystyle{}f^{\frac{1}{n}}$ et partant de $z_0$ et non pas de l'origine.

Racines carrés complexes $\Delta a+ib$

• On cherche des solutions entières $z = x+iy$ et $z^2 = x^2-y^2 + 2ixy$
  
• Sinon on cherche $z$ sous la forme \begin{eqnarray*} z=x+iy &:& z^2 = a+ib\\ & & x^2-y2 = a\\ & & 2xy = b \end{eqnarray*}

Ruse : ajouter l'équation $|z|^2 = |a+ib|$ qui donne $x^2+y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$

Équation du second degré dans $\mathbb{C}$ $$az^2+bz+c = 0 \hspace{20pt} \text{avec }a, b, c \text{ dans }\mathbb{C} \text{ et }a\neq 0$$ Discriminant : $\Delta = b^2-4ac$