$$ \DeclareMathOperator{\vect}{vect} \DeclareMathOperator{\Ima}{Im} \DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\Mat}{Mat} \DeclareMathOperator{\GL}{GL} \DeclareMathOperator{\rg}{rg} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \DeclareMathOperator{\Id}{Id} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\xhookrightarrow}{\raisebox{\depth}{\rotatebox{180}{\reflectbox{$\hookrightarrow$}}}} \renewcommand{\th}{\text{th}} \DeclareMathOperator{\argth}{argth} \DeclareMathOperator{\Arg}{Arg} \newcommand\Isom{\mathcal{I}\text{som}} \newcommand{\DL}[1]{développement limité à l'ordre $#1$ en zéro}$$
LMPrépa

Chapitre 5 : Calcul de primitives et d'intégrales

Questions de cours

1. Donner une primitive de $f : t\mapsto e^{-t}\sin(t)$


Une primitive de $f$ est $\displaystyle{}F : x\mapsto \int_0^x e^{-t}\sin(t)dt$ (théorème fondamental de l'analyse)

$\sin(t) = \text{Im}(e^{it})$ \begin{eqnarray*} \text{Si }x\in\mathbb{R},\text{ } F(x) &=& \int_0^x e^{-t}\text{Im}(e^{it})dt\\ &=& \int_0^x\text{Im}(e^{-t}e^{it})dt\\ &=&\text{Im}\left( \int_0^x e^{t(-1+i)}dt \right)\\ &=& \text{Im} \left( \left[ \frac{1}{-1+i}e^{t(-1+i)} \right]_0^x \right)\\ &=& \text{Im}\left( \frac{1}{i-1}(e^{x(i-1)}-1) \right)\\ &=& \text{Im}\left( \frac{-1}{2}(i+1)(e^{-x}(\cos(x) + i\sin(x))) \right)\\ &=& \frac{-1}{2}\left[ e^{-x}\cos(x) - 1 + e^{-x}\sin(x) \right]\\ &=& \frac{e^{-x}}{2}(\cos(x) + \sin(x)) + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

2. Primitive des fonctions suivantes en reconnaissant un motif :

$x\mapsto \frac{4}{3x+1}, x\mapsto \frac{3x}{x^2+1}, x\mapsto \frac{5x}{\sqrt{4-2x^2}}, x\mapsto \frac{5}{\sqrt{4-2x^2}}, x\mapsto \frac{2}{x^{\frac{4}{3}}}, x\mapsto \frac{\sin(\ln(x))}{x}, x\mapsto \frac{3x^2+1}{(x^3+x-2)^4}, x\mapsto \frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)}, x\mapsto \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}, x\mapsto x\cos(4-x^2), x\mapsto (\sin(x))\cos^2(x), x\mapsto \frac{\ln(\tan(x))}{\cos^2(x)}, x\mapsto \frac{1}{\tan(x)}, x\mapsto \frac{1}{1-3x^2}$ $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline f(x) & \text{Motif} & \text{Primitive de }f\\ \hline \displaystyle{}\frac{4}{3x+1} & \displaystyle{}\frac{u'}{u} & \displaystyle{}\frac{4}{3}\ln\left| x+\frac{1}{3} \right|\\ \hline \displaystyle{}\frac{3x}{x^2+1} & \displaystyle{}\frac{u'}{u} & \displaystyle{}\frac{3}{2}\ln|x^2+1|\\ \hline \displaystyle{}\frac{5x}{\sqrt{4-2x^2}} & \displaystyle{}\frac{u'}{2\sqrt{u}} & \displaystyle{}-\frac{5}{2}\sqrt{4-2x^2}\\ \hline \displaystyle{}\frac{5}{\sqrt{4-2x^2}} & \displaystyle{}\frac{u'}{1-u^2} & \displaystyle{}\frac{5\sqrt{2}}{2}\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\\ \hline \displaystyle{}\frac{2}{x^{\frac{4}{3}}} & \displaystyle{}u'u^n & \displaystyle{}\frac{-6}{x^{\frac{1}{3}}}\\ \hline \displaystyle{}\frac{\sin(\ln(x))}{x} & \displaystyle{}u'\sin(u) & \displaystyle{}-\cos(\ln(x))\\ \hline \displaystyle{}\frac{3x^2+1}{(x^3+x-2)^4} & \displaystyle{}-\frac{u'}{u^n} & \displaystyle{}\frac{-1}{3(x^3+x-2)^3}\\ \hline \displaystyle{}\frac{\sin(x)}{1+\cos^2(x)} & \displaystyle{}\frac{u'}{1+u2} & \displaystyle{}-\arctan(\cos(x))\\ \hline \displaystyle{}\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}} & \displaystyle{}u'u & \displaystyle{}\frac{(\arcsin(x))^2}{2}\\ \hline \displaystyle{}x\cos(4-x^2) & \displaystyle{}u'\cos(u) & \displaystyle{}\frac{\sin(4-x^2)}{-2}\\ \hline \displaystyle{}(\sin(x))\cos^2(x) & \displaystyle{}u'u^n & \displaystyle{}\frac{\cos^3(x)}{-3}\\ \hline \displaystyle{}\frac{\ln(\tan(x))}{\cos^2(x)} & \displaystyle{}u'\ln(u) & \displaystyle{}\tan(x-\ln(\tan(x)) - \tan(x)\\ \hline \displaystyle{}\frac{1}{\tan(x)} & \displaystyle{}\frac{u'}{u} & \displaystyle{}\ln(|\sin(x)|)\\ \hline \displaystyle{}\frac{1}{1-3x^2} & \displaystyle{}\frac{u'}{1-u^2} & \displaystyle{}\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2}\ln\left(\left| \frac{1+x}{1-x}\right|\right)\\ \hline \end{array}$$

3. Énoncer le "théorème fondamental de l'analyse" qui donne la relation entre primitives et intégrales.

Théorème : fondamental de l'analyse
Soient $f : I \to \mathbb{R}$ continue et $a\in I$
Alors :

$\begin{array}{cl} \text{1. }F : &I \to \mathbb{R}\\ & \displaystyle{} x \mapsto \int_a^xf(t)dt \end{array}$ est une primitive de $f$ sur $I$.
Plus précisément c'est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ i.e. $F$ est dérivable sur $F' = f$ et $F(a) = 0$

2. Pour toute primitive $F$ de $f$ sur $I$, on a $$\int_a^bf(t)dt = F(b) - F(a) = \left[ F(t) \right]_a^b$$

4. Déterminer une primitive de $\arctan$ sur $\mathbb{R}$


Soit $x\in\mathbb{R}$ une primitive de $\arctan$ et $F$ tq \begin{eqnarray*} F(x) &=& \int_a^x \arctan(t)dt\\ &=& \int_a^x\underbrace{\arctan(t)}_{u(t)} \times \underbrace{1}_{v'(t)}dt \end{eqnarray*} Ainsi $\displaystyle{} u'(t) = \frac{1}{1+t^2}$ et $v(t) = t$

Par intégration par parties \begin{eqnarray*} F(x) &=& [\arctan(t) \times t]_0^x - \int_0^x\frac{t}{1+t^2} \times \frac{2}{2}dt\\ &=& x \arctan(x) - 0 \times \arctan(0) - \frac{1}{2} [\ln(|1+t^2|)]_0^x\\ &=& x \arctan(x) - \frac{1}{2} [\ln(1+x^2)-\ln(1)]\\ &=& x \arctan(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \end{eqnarray*}

5. Calculer : $\displaystyle{} \int_0^{\pi} \cos(t)dt$.


Par intégration par parties \begin{eqnarray*} I &=& [t\sin(t)]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} sin(t)dt\\ &=& 0 - 0 - [-\cos(t)]_0^{\pi}\\ &=& -(-\cos(\pi) + \cos(0))\\ &=& -2 \end{eqnarray*}

6. Calculer : $\displaystyle{} \int_0^1 t^3e^{t^3}dt$.


\begin{eqnarray*} J &=& \int_0^1 t^2 \times te^{t^2}dt\\ &=& \left[ \frac{t^2}{2} \times e^{t^2} \right]_0^1 - \int_0^1 2t \times \frac{1}{2}e^{t^2}dt\hspace{20pt}\text{par intégration par parties}\\ &=&\frac{e}{2} - 0 - \left[ \frac{1}{2}e^{t^2} \right]_0^1\\ &=&\frac{e}{2} - \frac{e}{2} + \frac{1}{2}\\ &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray*}

7. Calculer : $\displaystyle{} \int_1^3 \frac{\sqrt{t}}{t+1}$.


Changement de variable. On pose $x = \sqrt{t}$ \begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} &=& \frac{1}{2\sqrt{t}}\\ dx &=& \frac{dt}{2\sqrt{t}} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} I &=& \int_1^3\frac{\sqrt{t}}{1 + t}\times 2\sqrt{t}\frac{dt}{2\sqrt{t}}\\ &=& \int_{\sqrt{1}}^{\sqrt{3}} \frac{2x^2}{x^2+1}dx\\ &=& 2 \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{x^2+1}dx\\ &=& 2 \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{(x^2+1)-1}{x^2+1}dx\\ &=& 2 \int_{1}^{\sqrt{3}} 1-\frac{1}{x^2+1}dx\\ \text{Donc } I &=& 2[x-arctan(x)]_1^{\sqrt{3}}\\ &=& 2[\sqrt{3}-arctan(\sqrt{3})-(1-arctan(1))]\\ &=& 2\left( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}-1+\frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray*}

8. Calculer : $\displaystyle{} \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}dx$


Pour "casser la racine" on pose $x = \sin(t)$ ou plutôt $y = arcsin(x)$ (car $x$ varie de $-1$ à $1$) \begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} &=& \cos(t)\\ dx &=& \cos(t)dt \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \text{Donc } I &=& \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2(t)}\cos(t)dt\\ &=& \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\cos(t)|\cos(t)dt \end{eqnarray*} or $\cos \geq 0$ sur $\displaystyle{} \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ $$\text{Donc }I = \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(t)dt$$ On linéarise : \begin{eqnarray*} I &=& \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2t)}{2}dt\\ &=& \frac{1}{2}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 + \cos(2t)dt\\ &=& \frac{1}{2}\left[ t + \frac{\sin(2t)}{2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\ &=& \frac{1}{2}\left( \frac{\pi}{2}+ 0 -\left( \frac{-\pi}{2} + 0 \right) \right)\\ &=& \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}
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