1. Donner la définition de la convergence d'une suite vers une limite réelle ou complexe.
Définition :
$(u_n)$ une suite réelle ou complexeSoit $\ell\in \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$
On dit que $(u_n)$ converge vers $\ell$ lorsque $$\forall \varepsilon >0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n-\ell|\leq \varepsilon$$
2. SAVOIR REFAIRE : prouver l'unicité de la limite
$\begin{array}{l|l} \text{Soient } & (u_n)\text{ une suite réelle ou complexe}\\ & \ell\text{ et }\ell'\text{ dans }\mathbb{R}\text{ ou }\mathbb{C} \end{array}$
Par l'absurde, supposons que $\ell \neq \ell '$
On pose $\varepsilon = \frac{1}{2}|\ell-\ell '|$
On a $\ell \neq \ell '$, donc $\varepsilon > 0$
$\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell$ d'où un certain $N_1\in\mathbb{N}$ tq $\forall n\geq N_1, |u_n-\ell|< \varepsilon$
$\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell '$ d'où un certain $N_2\in\mathbb{N}$ tq $\forall n\geq N_2, |u_n-\ell '|< \varepsilon$
Soit $N = \max\{N_1 ; N_2 \}$
Si $n\geq N$, alors $|u_n-\ell|<\varepsilon$ et $|u_n-\ell '|<\varepsilon$
$|\ell-\ell '| = |\ell -u_n + u_n -\ell '| \leq |\ell - u_n|+|u_n-\ell '|$
Donc $|\ell - \ell '|\leq \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon$
or $2\varepsilon = |\ell-\ell '|$, donc $|\ell - \ell'| < |\ell-\ell'|$ contradiction d'où l'unicité.
3. Quantifier le fait qu'une suite diverge.
$$\forall \ell \in \mathbb{C}, \exists \varepsilon > 0, \forall N\in\mathbb{N}, \exists n \geq N, |u_n - \ell| > \varepsilon$$
4. SAVOIR REFAIRE : Montrer qu'une suite convergente est bornée
Soit $\ell \in\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ tq $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell$\ On pose $\varepsilon = 1 > 0$
D'où un certain $N\in \mathbb{N}$ tq $\forall n\geq N, |u_n - \ell|\leq 1$
Si $n \geq N, |u_n| = |u_n - \ell + \ell|$
Donc $|u_n| \leq |u_n-\ell| + |\ell||$ (par inégalité triangulaire)
Si $n\geq N, |u_n| \leq 1 + |\ell|$
On pose $M = \max\{ |u_0| ; |u_1| ; ... ; |u_{N+1}| ; |\ell| +1 \}$
Par construction $\forall n\in\mathbb{N}, |u_n| \leq M$
Donc $(u_n)$ est bornée.
5. SAVOIR REFAIRE : Montrer que si $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = u$ et si $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = v$ alors
$\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n \times v_n = u\times v$
Soit $n\in\mathbb{N}$
\begin{eqnarray*} |u_nv_n - uv| &=& |(u_n-u+u)v_n-uv|\\ &=& |(u_n-u)v_n+u(v_n-v)| \leq |u_n-u||v_n|+|u||v_n-v| \end{eqnarray*} or $(v_n)$ est convergente donc bornée.
D'où un certain$M \geq 0$ tq $\forall n\in\mathbb{N}, |v_n|\leq M$
$\forall n\in \mathbb{N}, |u_nv_n -uv|\leq |u_n-u|M + |v_n-v||u|$
Soit $\varepsilon > 0$
$\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = u$ on pose $\displaystyle{}\varepsilon '=\frac{\varepsilon}{2M}>0$
D'où $N_1\in\mathbb{N}$ tq $\forall n \geq N_1, |u_n-u|\leq \varepsilon '$
$\displaystyle{} \lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = v$ on pose $\displaystyle{}\varepsilon '' = \frac{\varepsilon}{2|u|}>0$
D'où $N_2 \in\mathbb{N}$ tq $\forall n \geq N_2, |v_n- v|\leq\varepsilon ''$
On pose $N = \max\{ N_1 ; N_2 \}$
Si $n \geq N$ selon $|u_nv_n -uv|\leq |u_n-u|M + |v_n-v||u|$
$\displaystyle{}|u_nv_n - uv|\leq \frac{\varepsilon}{2M} \times M + \frac{\varepsilon}{2|u|}\times|u| = \varepsilon$
Ainsi $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_nv_n = u\times v$
\begin{eqnarray*} |u_nv_n - uv| &=& |(u_n-u+u)v_n-uv|\\ &=& |(u_n-u)v_n+u(v_n-v)| \leq |u_n-u||v_n|+|u||v_n-v| \end{eqnarray*} or $(v_n)$ est convergente donc bornée.
D'où un certain$M \geq 0$ tq $\forall n\in\mathbb{N}, |v_n|\leq M$
$\forall n\in \mathbb{N}, |u_nv_n -uv|\leq |u_n-u|M + |v_n-v||u|$
Soit $\varepsilon > 0$
$\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = u$ on pose $\displaystyle{}\varepsilon '=\frac{\varepsilon}{2M}>0$
D'où $N_1\in\mathbb{N}$ tq $\forall n \geq N_1, |u_n-u|\leq \varepsilon '$
$\displaystyle{} \lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = v$ on pose $\displaystyle{}\varepsilon '' = \frac{\varepsilon}{2|u|}>0$
D'où $N_2 \in\mathbb{N}$ tq $\forall n \geq N_2, |v_n- v|\leq\varepsilon ''$
On pose $N = \max\{ N_1 ; N_2 \}$
Si $n \geq N$ selon $|u_nv_n -uv|\leq |u_n-u|M + |v_n-v||u|$
$\displaystyle{}|u_nv_n - uv|\leq \frac{\varepsilon}{2M} \times M + \frac{\varepsilon}{2|u|}\times|u| = \varepsilon$
Ainsi $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_nv_n = u\times v$
6. SAVOIR REFAIRE : Montrer que si $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = u$, avec $u\neq 0$, alors, pour $n$ grand, $u_n\neq0$, et $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{u_n} = \frac{1}{u}$
Soit $n\in\mathbb{N}$, \begin{eqnarray*} |u_n| &=& |(u_n-u)+u|\\ &\geq& |u| - |u_n-u| \end{eqnarray*} On pose $\displaystyle{}\varepsilon = \frac{|u|}{2}>0$
D'où un entier $N_0\in\mathbb{N}$ tq $\displaystyle{}\forall n\geq N_0, |u_n-u|\leq \varepsilon = \frac{|u|}{2}$
$\begin{array}{ll} \text{Ainsi : } &\displaystyle{} \forall n\geq N_0, |u_n| \geq |u|-\frac{|u|}{2}\\ &\displaystyle{} \forall n\geq N_0, |u_n| \geq \frac{|u|}{2} \end{array}$
Montrons que $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{u_n} = \frac{1}{u}$
Soit $n \geq N_0$ $$\left| \frac{1}{u_n}-\frac{1}{u} \right| = \left| \frac{u-u_n}{u_nu} \right|$$ D'après $\displaystyle{} \forall n\geq N_0, |u_n| \geq \frac{|u|}{2}$, $\displaystyle{}\left|\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u}\right| \leq \frac{2}{|u|^2}\times |u_n-u|$
Soit $\varepsilon > 0$, $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = u$, on pose $\displaystyle{}\varepsilon ' = \frac{\varepsilon}{\frac{2}{|u|^2}}$
Doù un certain $N_1 \in \mathbb{N}$ tq $\forall n \geq N_1, |u_n-u|\leq \varepsilon '$
On pose $N = \max\{ N_0 ; N_1 \}$
Ainsi $\displaystyle{}\forall n\geq N, \left| \frac{1}{u_n}-\frac{1}{u} \right|\leq \frac{2}{|u|^2}\varepsilon ' = \varepsilon$
Conclusion : $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{u_n} = \frac{1}{u}$
7. Quantifier le fait que $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = +\infty$, puis que $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = -\infty$
On dit qu'une suite réelle $(u_n)$ tend vers $+\infty$ lorsque $$\forall A > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n \geq N, u_n \geq A$$ On dit qu'une suite réelle $(u_n)$ tend vers $-\infty$ lorsque $$\forall B >0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n \geq N, u_n \leq B$$
8. Qu'est ce qu'une suite divergente de $1^{\text{ère}}$ espèce ? $2^{\text{ème}}$ espèce.
Définition :
Soit $(u_n)$ une suite réelle1. On dit que $(u_n)$ est divergente de $1^{\text{ère}}$ espèce lorsque $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \pm \infty$
2. On dit que $(u_n)$ est divergente de $2^{\text{ème}}$ espèce lorsqu'elle est divergente mais pas de $1^{\text{ère}}$ espèce.
9. Donner deux exemples de suite divergente de $2^{\text{ème}}$ espèce.
Exemple 1 : $((-1)^n)$ est divergente de $2^{\text{ème}}$ car elle diverge mais ne tend pas vers $\pm\infty$
Exemple 2 : $(u_n) = \cos(n)$
10. Vrai-Faux : ``une suite divergente de $2^{\text{ème}}$ espèce est forcément bornée" ?
Faux : $(u_n) = (-2)^n$
$(u_n)$ n'est pas bornée, elle ne converge pas car toute suite convergente est bornée
$(u_n)$ n'est pas de $1^{\text{ère}}$ espèce car elle ne tend pas vers $+\infty$ car si $n$ est impair alors $u_n < 0$, elle ne tend pas non plus vers $-\infty$ car si $n$ est pair alors $u_n > 0$.
11. SAVOIR REFAIRE : prouver que $\cos(n)$ est divergente de deuxième espèce.
$u_n$ est bornée, donc elle ne peut pas être de $1^{\text{ère}}$ espèce.
Il suffit de montrer que $u_n$ diverge
Par l'absurde, supposons que $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}\cos(n) = \ell$
$1^{\text{ère}}$ étape : Montrons que $\sin(n)$ converge
Soit $n\in\mathbb{N}$, $\cos(n+1) = \cos(n)\cos(1) - \sin(n)\sin(1)$
or $\displaystyle{}\sin(1)\neq 0$, $\displaystyle{}\sin(n) = \frac{1}{\sin(1)}\left( \cos(n)\cos(1) - \cos(n+1) \right)$
or si $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell$ alors $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n+1} = \ell$
Donc $\displaystyle{}\sin(n) = \frac{1}{\sin(1)}\left( \ell\cos(1) - \ell \right)$
$2^{\text{ème}}$ étape :
Passage au complexe $e^{in} = \cos(n) + i\sin(n)$
Donc $(e^{in})$ est convergente (mettons vers $\alpha\in\mathbb{R}$) $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left( e^{in} - e^{i(n+1)} \right) = \alpha - \alpha = 0$$ \begin{eqnarray*} \text{Soit }n\in\mathbb{N}, |e^{in} - e^{i(n+1)}| &=& |e^{in}(1-e^i)|\\ &=& [e^{in}||1-e^i|\\ &=& |1-e^i| \neq 0 \hspace{5pt}\text{constant} \end{eqnarray*} Contradiction, d'où le résultat.
12. Vrai-Faux : ``si $\forall n\in\mathbb{N}, u_n<v_n$ et si $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = u$, $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = v$, alors $u<v$"? (preuve ou contre exemple...)
Faux : $ \left\lbrace\begin{array}{l} u_n = 0\\ v_n = \frac{1}{n} \end{array}\right.$ $ \forall n\in\mathbb{N}, u_n < v_n$, mais $u = v = 0$
13. SAVOIR REFAIRE : on suppose que $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell>0$. Montrer que, pour $n$ suffisamment grand, $u_n >0$
14. SAVOIR REFAIRE : énoncer et prouver le théorème ``des gendarmes"(encadrement), avec (au choix du colleur) limite réelle ou infinie
Théorème : des gendarmes
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ des suites réelles.1. On suppose que $\left\lbrace\begin{array}{l} \forall n\in\mathbb{N}, v_n \leq u_n \leq w_n\\ (v_n) \text{ et } (w_n) \text{ convergent vers le même réel } \ell \end{array}\right.$
Alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell$
2. On suppose que $\left\lbrace\begin{array}{l} \forall n\in\mathbb{N}, v_n \leq u_n\\ \displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}(v_n) = +\infty \end{array}\right.$
Alors $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = +\infty$
3. On suppose que $\left\lbrace\begin{array}{l} \forall n\in\mathbb{N}, u_n\leq w_n\\ \displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}(w_n) = -\infty \end{array}\right.$
Alors $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = -\infty$
Preuve :
$\begin{array}{ll}
\text{1. Soit }\varepsilon > 0\text{, }& \displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = \ell\text{, d'où }N_1\in\mathbb{N}\text{ tq }\forall n\geq N_1, |v_n-\ell|\leq\varepsilon\text{ i.e. }\forall n\geq N_1, \ell-\varepsilon \leq v_n \leq \ell+\varepsilon\\
& \displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n = \ell\text{, d'où }N_2\in\mathbb{N}\text{ tq }\forall n\geq N_2, |w_n-\ell|\leq\varepsilon\text{ i.e. }\forall n\geq N_2, \ell-\varepsilon \leq w_n \leq \ell+\varepsilon\\
\end{array}$On pose $N = \max\{ N_1 ; N_2 \}$
Si $n\geq N$, alors $\ell-\varepsilon \leq v_n \leq u_n \leq w_n \leq \ell+\varepsilon$
Ainsi $\forall n\geq N$, $|u_n - \ell|\leq \varepsilon$
Donc $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell$
2. Soit $A > 0$, $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n = +\infty$
d'où un certain $N \in\mathbb{N}$ tq $\forall n\in N$, $v_n \geq A$
Ainsi, si $n\geq N$, on a $A \leq v_n \leq u_n$
3. Soit $A < 0$, $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n = -\infty$
d'où un certain $N\in\mathbb{N}$ tq $\forall n \in N$, $w_n \leq A$
Ainsi, si $n\geq N$, on a $u_n \leq w_n \leq A$
15. SAVOIR REFAIRE : soit A une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$. Construire une suite $(u_n)$ de points de $A$ qui converge vers $\sup(A)$
Soit $\varepsilon > 0$
Soit $n\in\mathbb{N}^*$
On pose $\displaystyle{}\varepsilon = \frac{1}{n}>0$
D'où un certain $u_n\in A$ tq $\displaystyle{}\sup(A)-\frac{1}{n}<u_n\leq \sup(A)$
D'où une suite $(u_n)$ de points de $A$ tq $\forall n\in\mathbb{N}^*$, $\displaystyle{}\sup(A) - \frac{1}{n} < u_n \leq \sup(A)$
Par encadrement $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \sup(A)$
16. SAVOIR REFAIRE : que signifie le fait que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ ``au sens des suites". Prouver l'équivalence avec le sens vu au chapitre précédent.
Mq $A$ est une partie dense de $\mathbb{R}$ ssi tout réel est limite d'une suite de points de $A$
On suppose $A$ une partie de $\mathbb{R}$
Soit $x\in\mathbb{R}$
Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $a=x$ et $\displaystyle{}b = \frac{1}{n}+x$
Ainsi on a une suite $(u_n)$ de points de $A$ tq $\displaystyle{}\forall n\in\mathbb{N}^*, x < u_n < x+\frac{1}{n}$ Or $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}x+\frac{1}{n} = x$, donc par encadrement $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = x$
Réciproquement, mq $A$ est dense dans $\mathbb{R}$
Soient $a<b$ dans $\mathbb{R}$
On pose $\displaystyle{}x = \frac{a+b}{2}$, d'où une suite $(u_n)$ de points de $A$ tq $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = x$
On pose $\displaystyle{}\varepsilon = \frac{b-a}{2}$, $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = x$, d'où $\displaystyle{}\forall n \geq N, |u_n-x|\leq \varepsilon = \frac{b-a}{2}$
17. SAVOIR REFAIRE : montrer qu'une suite croissante et majorée converge vers $\ell = \underset{n\in\mathbb{N}}{\sup(u_n)}$
Soit $A = \{ u_n / n\in\mathbb{N} \}$
Supposons que $u_n$ est majorée
Donc $A$ est non vide et majorée, d'où $\sup(A) = \ell$ (d'après l'ABS)
Montrons que $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell$
Soit $\varepsilon > 0$,
$\ell-\varepsilon< \ell$, donc $\ell-\varepsilon$ ne majore pas $A$
D'où $N\in\mathbb{N}$ tq $u_N \geq \ell-\varepsilon$
Si $N\geq N$n on a donc $\ell-\varepsilon \leq u_N \leq u_n \leq \ell+\varepsilon$
donc $|u_n-\ell|\leq \varepsilon$
Conclusion $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell$
18. Vrai-Faux : ``une suite réelle qui n'est pas majorée tend vers $+\infty$"
Faux : $((-2)^n)$ n'est pas majorée elle est de $2^{\text{ème}}$ espèce
19. SAVOIR REFAIRE : étudier la suite $\displaystyle{}u_{n+1} = \sin(u_n)$, avec $\displaystyle{}u_0 \in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[$
$\begin{array}{lll}
\text{1. On envisage } & \varphi : & \mathbb{R}_+\to\mathbb{R}\\
&&x\mapsto x-\sin(x)
\end{array}$
$\varphi'(x) = 1 -\cos(x)$
$\begin{array}{ccccc} -1 & \leq & \cos(x) & \leq & 1\\ -1 & \leq & -\cos(x) & \leq & 1\\ 0 & \leq & 1-\cos(x) & \leq & 2 \end{array}$
Donc $\varphi' > 0$, ainsi $\varphi$ est croissante
Or $\varphi(0) = 0 - \sin(0) = 0$
Donc $\sin(x) \leq x$ avec égalité ssi x = 0
2. On montre par récurrence que $\displaystyle{}\forall n\in\mathbb{N}, u_n\in\left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[$
Initialisation : $\displaystyle{}u_0\in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[$ par hypothèse.
Hérédité : Soit $n\in\mathbb{N}$, tq $u_n\in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[$
$u_{n+1} = \sin(y_n)$
Or $\sin\left( \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[ \right) \subset ]0;1[ \subset ]0 ; \frac{\pi}{2} [$
Donc $\displaystyle{}u_{n+1} \in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[$
ce qui achève la récurrence.
3. D'après le 1., on a $u_{n+1} = \sin(u_n) \leq u_n$
Donc $(u_n)$ est décroissante.
Or d'après le 2., $(u_n)$ converge.
Soit $\ell\in\mathbb{R}_+$, tq $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell$
Ainsi, $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n+1} = \ell$ (suite décalée)
Or, $\displaystyle{}u_{n+1} = \sin(u_n)\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow \sin(\ell)$ car $\sin$ est continue.
Ainsi $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow \ell$ et $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow\sin(\ell)$
Par unicité de la limite $\sin(\ell) = \ell$
D'après le 1. cas d'égalité $l=0$
Conclusion $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 0$
$\varphi'(x) = 1 -\cos(x)$
$\begin{array}{ccccc} -1 & \leq & \cos(x) & \leq & 1\\ -1 & \leq & -\cos(x) & \leq & 1\\ 0 & \leq & 1-\cos(x) & \leq & 2 \end{array}$
Donc $\varphi' > 0$, ainsi $\varphi$ est croissante
Or $\varphi(0) = 0 - \sin(0) = 0$
Donc $\sin(x) \leq x$ avec égalité ssi x = 0
2. On montre par récurrence que $\displaystyle{}\forall n\in\mathbb{N}, u_n\in\left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[$
Initialisation : $\displaystyle{}u_0\in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[$ par hypothèse.
Hérédité : Soit $n\in\mathbb{N}$, tq $u_n\in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[$
$u_{n+1} = \sin(y_n)$
Or $\sin\left( \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[ \right) \subset ]0;1[ \subset ]0 ; \frac{\pi}{2} [$
Donc $\displaystyle{}u_{n+1} \in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[$
ce qui achève la récurrence.
3. D'après le 1., on a $u_{n+1} = \sin(u_n) \leq u_n$
Donc $(u_n)$ est décroissante.
Or d'après le 2., $(u_n)$ converge.
Soit $\ell\in\mathbb{R}_+$, tq $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = \ell$
Ainsi, $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n+1} = \ell$ (suite décalée)
Or, $\displaystyle{}u_{n+1} = \sin(u_n)\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow \sin(\ell)$ car $\sin$ est continue.
Ainsi $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow \ell$ et $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow\sin(\ell)$
Par unicité de la limite $\sin(\ell) = \ell$
D'après le 1. cas d'égalité $l=0$
Conclusion $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 0$
20. Donner la définition des suites adjacentes, puis donner leurs propriétés
Définition :
Deux suites réelles, $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes lorsque l'une croît, l'autre décroît et la différence tend vers zéro.Théorème : Propriété
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites adjacentes définies comme précédemment. Alors $\forall n\in\mathbb{N}, u_n \leq v_n$Théorème :
1. Deux suites adjacentes convergent vers le même réel.2. Il est caractérisé par $\forall n\in\mathbb{N}, u_n\leq \ell\leq v_n$
21. SAVOIR REFAIRE : étudier la suite $\displaystyle{}u_0 = \frac{1}{2}$, $\displaystyle{}u_{n+1} = \frac{2}{1+u_n}$
Points fixes de $f$ : Soit $\ell\in\mathbb{R}, \ell\neq 1, f(\ell) = \ell \Leftrightarrow \frac{2}{1+\ell} = \ell \Leftrightarrow \ell^2 + \ell - 2 = 0$
Racines évidente : $\ell = 1$, $\ell = -2$
Cette fois-ci, il semble que $(u_n)$ n'est pas monotone, on prévoit que $(u_n)$ tend vers 1 en oscillant de part et d'autre.
Mq $\forall n\in\mathbb{N}, u_0 \leq u_n \leq u_1$
Par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$
Initialisation : $n=0$
$$\begin{array}{ccccc} u_0 & \leq & u_n & \leq & u_1\\ \displaystyle{}\frac{1}{2} & \leq &\displaystyle{} \frac{1}{2} & \leq &\displaystyle{} \frac{4}{3} \end{array}$$
Hérédité :
Soit $n\in\mathbb{N}$, tq
$$\begin{array}{ccccc} u_0 & \leq & u_n & \leq & u_1\\ \frac{1}{2}& \leq & u_n & \leq & \frac{4}{3} \end{array}$$
or $f$ est décroissante sur $\displaystyle{}\left[ \frac{1}{2} ; \frac{4}{3} \right]$
$$\begin{array}{ccccccc} &&f\left( \frac{4}{3}\right) & \leq & f(u_n) & \leq & f\left(\frac{1}{2}\right)\\ \frac{1}{2} &\leq& \frac{6}{7}& \leq & u_{n+1} & \leq & \frac{4}{3} \end{array}$$ ce qui achève la récurrence.
Mq $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 1$, pour cela mq $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}|u_n -1| = 0$
On pose $w_n = |u_n - 1|$
Soit $n\in\mathbb{N}$ \begin{eqnarray*} w_{n+1} &=& |u_{n+1}-1|\\ &=& \left| \frac{2}{1+u_n} -1 \right|\\ &=& \left| \frac{1-u_n}{1+u_n} \right|\\ &=& \frac{|1-u_n|}{|1+u_n|} \end{eqnarray*} Or $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n \geq \frac{1}{2}$
Donc $\displaystyle{}w_{n+1} \leq \frac{1}{\frac{1}{2}+1}w_n$ ainsi $\displaystyle{}w_{n+1} = \frac{2}{3}w_n$
Par récurrence immédiate : $\displaystyle{}w_n \leq \left(\frac{2}{3}\right)^n w_0$
Or $\displaystyle{}0<\frac{2}{3}<1$ donc $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$, donc par encadrement $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n = 0$
i.e. $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}|u_n-1| = 0$ i.e. $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 1$
Racines évidente : $\ell = 1$, $\ell = -2$
Cette fois-ci, il semble que $(u_n)$ n'est pas monotone, on prévoit que $(u_n)$ tend vers 1 en oscillant de part et d'autre.
Mq $\forall n\in\mathbb{N}, u_0 \leq u_n \leq u_1$
Par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$
Initialisation : $n=0$
$$\begin{array}{ccccc} u_0 & \leq & u_n & \leq & u_1\\ \displaystyle{}\frac{1}{2} & \leq &\displaystyle{} \frac{1}{2} & \leq &\displaystyle{} \frac{4}{3} \end{array}$$
Hérédité :
Soit $n\in\mathbb{N}$, tq
$$\begin{array}{ccccc} u_0 & \leq & u_n & \leq & u_1\\ \frac{1}{2}& \leq & u_n & \leq & \frac{4}{3} \end{array}$$
or $f$ est décroissante sur $\displaystyle{}\left[ \frac{1}{2} ; \frac{4}{3} \right]$
$$\begin{array}{ccccccc} &&f\left( \frac{4}{3}\right) & \leq & f(u_n) & \leq & f\left(\frac{1}{2}\right)\\ \frac{1}{2} &\leq& \frac{6}{7}& \leq & u_{n+1} & \leq & \frac{4}{3} \end{array}$$ ce qui achève la récurrence.
Mq $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 1$, pour cela mq $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}|u_n -1| = 0$
On pose $w_n = |u_n - 1|$
Soit $n\in\mathbb{N}$ \begin{eqnarray*} w_{n+1} &=& |u_{n+1}-1|\\ &=& \left| \frac{2}{1+u_n} -1 \right|\\ &=& \left| \frac{1-u_n}{1+u_n} \right|\\ &=& \frac{|1-u_n|}{|1+u_n|} \end{eqnarray*} Or $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n \geq \frac{1}{2}$
Donc $\displaystyle{}w_{n+1} \leq \frac{1}{\frac{1}{2}+1}w_n$ ainsi $\displaystyle{}w_{n+1} = \frac{2}{3}w_n$
Par récurrence immédiate : $\displaystyle{}w_n \leq \left(\frac{2}{3}\right)^n w_0$
Or $\displaystyle{}0<\frac{2}{3}<1$ donc $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$, donc par encadrement $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n = 0$
i.e. $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}|u_n-1| = 0$ i.e. $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n = 1$
22. Énoncer le théorème des segments emboîtés
Théorème :
Soit $([a_n;b_n])_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de segments telle que :1. $\forall n\in\mathbb{N}$, $a_n\leq b_n$
2. $\forall n\in\mathbb{N}$, $[a_{n+1}; b_{n+1}]\subset[a_{n}; b_{n}]$ 3. $\displaystyle{}\exists \lim_{n\rightarrow+\infty}(b_n-a_n) = 0$
Alors $\underset{n\in\mathbb{N}}\cap[a_n;b_n]$ est non vide et réduite à un singleton.
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