Chapitre 3 : Suites réelles ou complexes

Supposons que $(u_n)_n$ admette deux limites $\ell_1$ et $\ell_2$
$\forall \varepsilon > 0,\exists N_1\in\mathbb{N}, \forall n\geq N_1\Rightarrow |u_n-\ell_1| < \varepsilon$
$\forall \varepsilon > 0,\exists N_2\in\mathbb{N}, \forall n\geq N_2\Rightarrow |u_n-\ell_2| < \varepsilon$

Ainsi \begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0,\exists N = \max(N_1,N_2)\in\mathbb{N}, \forall n\geq N&\Rightarrow& |u_n-\ell_1| < \varepsilon\text{ et }|u_n-\ell_2| < \varepsilon\\ &\Rightarrow& |\ell_1-\ell_2| = |\ell_1-u_n+u_n-\ell_2|\\ &\Rightarrow& |\ell_1-\ell_2| \leq |u_n-\ell_1|+|u_n-\ell_2| < 2\varepsilon\\ &\Rightarrow& \ell_1-\ell_2 = 0\\ &\Rightarrow& \ell_1 = \ell_2 \end{eqnarray*} Prépa 1 Prépa 1 Par hypothèse $(u_n)_n$ converge vers $\ell$.
\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n\geq \mathbb{N} &\Rightarrow& ||u_n|-|\ell|| < \varepsilon\\ &\Rightarrow& |u_n| < |\ell|+\varepsilon \end{eqnarray*} Quand aux termes $u_n$ pour $n < N$, je pose $M = \underset{0\leq n < N}\max(|u_n|)$
Ainsi $\forall n\in\mathbb{N}, |u_n| < \max(M;|\ell|+\varepsilon)$ Par hypothèse on sait que $\forall \varepsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n\geq N \Rightarrow |u_n-\ell| < \varepsilon$
Observons \begin{eqnarray*} |v_n-\ell| &=& \left| \frac{u_1+...+u_n}{n}-\ell \right|\\ &=& \left| \frac{u_1+...+u_n-n\ell}{n} \right|\\ &=& \left| \frac{(u_1-\ell)+...+(u_n-\ell)}{n} \right|\\ &\leq& \left| \frac{(u_1-\ell)+...+(u_N-\ell)}{n} + \frac{(u_{N+1}-\ell)+...+(u_n-\ell)}{n} \right| \end{eqnarray*} Or $(u_{N+1}-\ell)+...+(u_n-\ell)$ est strictement majoré par $\varepsilon$ \begin{eqnarray*} |v_n-\ell| & < & \frac{\overbrace{(u_1-\ell)+...+(u_N-\ell)}^{\text{constante }A\geq 0}}{n} + \frac{n-N}{n}\varepsilon\\ & < & \frac{A}{n}+\frac{n-N}{n}\varepsilon\\ & < & \frac{A}{n}+\varepsilon \end{eqnarray*} Or $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{A}{n} = 0$
Donc pour $\displaystyle{}\varepsilon > 0, \exists N_1\in \mathbb{N}, \forall n\geq N_1\Rightarrow \frac{A}{n} < \varepsilon$
Alors $\forall n\in\mathbb{N}, n\geq \max(N,N_1)\Rightarrow |v_n-\ell| < \varepsilon+\varepsilon = 2\varepsilon$ Prépa 1 Soit $\ell$ la limite de la suite convergente $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ $$\forall\varepsilon > 0,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\in\mathbb{N}, n\geq N\Rightarrow|u_n-\ell| < \varepsilon$$ $$\forall p\geq N \text{ on a aussi } |u_p-\ell| < \varepsilon$$ $$|u_n-u_p|=|u_n-\ell+\ell-u_p|\leq|u_n-\ell|+|u_p-\ell| < 2\varepsilon$$ Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de Cauchy, par hypothèse :
$$\forall\varepsilon > 0,\exists N \in\mathbb{N}, \forall (n,p)\in\mathbb{N}^2,n\geq N \text{ et } p\geq N \Rightarrow |u_n-u_p| < \varepsilon$$ Quand $p=N_1$ : $$n\geq N_1 \Rightarrow |u_n-u_{N_1}| < \varepsilon\Rightarrow|u_n| < \varepsilon+|u_{N_1}|$$ Posons $M=\max\{|u_1|,|u_2|,...,|u_{N_1-1}|,\varepsilon+|u_{N_1}|\}$
Alors : $\forall n\in\mathbb{N},|u_n| < M+\varepsilon$
Donc $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite bornée. Soit $(u_n)_n$ une suite convergente et soit $\ell$ sa limite. $$\forall \varepsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n-\ell| < \varepsilon$$ $\forall N_1\in \mathbb{N}$, choisissons un indice $n\in\mathbb{N}$ tel que $n\geq \max(N_1,N)$
Alors vu que $n\geq N_1$, $|u_n-\ell| < \varepsilon$
Autrement dit $\forall N_1\in\mathbb{N}, \exists n\geq N_1\text{ et }|u_n-\ell| < \varepsilon$
Donc par définition $\ell$ est valeur d'adhérence de la suite.

Unicité :
Supposons que $v$ est une autre valeur d'adhérence $$\forall \varepsilon > 0, \forall N_2\in\mathbb{N}, \exists n\geq N_2, |u_n-v| < \varepsilon$$ Or nous savons que $\forall \varepsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n\geq N, |u_n-\ell| < \varepsilon$
Je choisis pour $N_2$ la valeur $N$.
Posons un indice $n$ tel que $n\geq N$ (c'est le cas de $n\geq N_2$).
On a simultanément $|u_n-v| < \varepsilon$ et aussi $|u_n-\ell| < \varepsilon$
Alors $|v-\ell|=|v-u_n+u_n-\ell|\leq|u_n-v|+|u_n-\ell| < 2\varepsilon$
Donc $v = \ell$ Par hypothèse nous savons que : $\forall\varepsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall n\geq N, \forall p\geq N, |u_n-u_p| < \varepsilon$
$\forall\varepsilon > 0, \forall N_1\in\mathbb{N}, \exists n\geq N_1, |u_n-v| < \varepsilon$
Je choisi pour $n_1$ la valeur $N$ prise dans la première ligne.
Je choisis alors un indice $n$ tel que $n\geq N_1$.
D'après la première ligne $\forall p\geq N, |u_n-u_p| < \varepsilon$, d'après la seconde ligne $|u_n-v| < \varepsilon$
Cela entraîne que $|u_p-v| = |u_p-u_n+u_n-v|\leq|u_n-u_p|+|u_n-v| < 2\varepsilon$
En résumé $\forall\varepsilon > 0, \exists N\in\mathbb{N}, \forall p\geq N, |u_p-v| < 2\varepsilon$
Ceci nous dit que $(u_n)_n$ converge et que $v$ est sa limite.
De qui nous ramène à l'unicité de la valeur d'adhérence compte tenu de la propriété précédente. Supposons que $v$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)_n$. $$\forall\varepsilon > 0, \forall N\in\mathbb{N}, \exists n\geq N, |u_n-v| < \varepsilon$$ Appelons $p$ le plus petit des indices $n$ tel que $|u_n-v| < \varepsilon$
On a aussi $|u_p-v| < \varepsilon$
Soit l'entier $p+1$, il existe $n_{p+1}$ tel que $n_{p+1}\geq p+1 \Rightarrow |u_{p+1}-v| < \varepsilon$
Soit l'entier $n_{p+1}, \exists U_{\varphi(n)} tq : \varphi(n)\geq n_{p+1}+1\Rightarrow |u_{\varphi(n)}-v| < \varepsilon$
On construit ainsi une indexation
$p < n_{p+1} < \varphi(n)$ telle que $|u_{\varphi(n)}-v| < \varepsilon$
Autrement dit $\forall\varepsilon > 0, \exists p\in\mathbb{N}, \forall n\in\mathbb{N}, \varphi(n) > p, |u_{\varphi(n)}-v| < \varepsilon$
Ceci nous dit qu'on a crée une suite $(u_{\varphi(n)})$ extraite de la suite $(u_n)_n$ convergente vers $v$.

Réciproquement, supposons que $(u_{\varphi(n)})_n$ est une suite extraite de la suite $(u_n)_n$ qui converge vers un réel $v$.
$\forall\varepsilon > 0,\exists N\in\mathbb{N}, \forall n\in\mathbb{N},n\geq N \Rightarrow |u_{\varphi(n)}| < \varepsilon$
Or $\varphi : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ est une application strictement croissante. Ce qui signifie que $\forall N\in\mathbb{N}, \exists n\in\mathbb{N}, \varphi(n) \geq N$ et on a $|u_{\varphi(n)}-v| < \varepsilon$
En résumé : $\forall\varepsilon > 0, \forall N_1\in\mathbb{N}, \exists n\in\mathbb{N}\text{ et }\exists n_1=\varphi(n), n_1\geq N_1\text{ et }|u_{n_1}-v| < \varepsilon$ donc $v$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)_n$ On a vu que si $(u_n)_n$ est de Cauchy elle est bornée. Alors d'après le théorème de Bolzano-Weirstrass elle admet (au moins) une valeur d'adhérence.
Auquel cas on a vu qu'elle converge. <\div>