Chapitre 8 : Les intégrales a paramétres

$\begin{array}{lccll} \text{Si }f : & \mathbb{R}\times E & \longrightarrow & \mathbb{R} & \text{est continue sur son ensemble de définition alors la fonction }\Phi\\ & (t,x) & \longmapsto & f(t,x) \end{array}$
$\begin{array}{lccll} \text{ définie sur }A\subset E \text{ par } \Phi : & A\subset E & \longrightarrow & \mathbb{R} & \text{est une fonction continue sur }A\\ & x & \longmapsto & \displaystyle{} \int_a^bf(t,x)dt \end{array}$

$\begin{array}{lccll} \text{Soit }f : & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} & \text{définie et continue sur }[a,b]\times I \text{ avec }a\leq b \text{ et }I\text{ intervalle ouvert de }\mathbb{R}.\\ & (t,x) & \longmapsto & f(t,x) \end{array}$
$\begin{array}{lccl} \text{Soit la fonction }\displaystyle{}\frac{\partial f}{\partial x} : & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & (t,x) & \longmapsto & \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \end{array}$
On suppose que cette fonction est elle aussi définie et continue sur $[a,b]\times I$ i.e. $f$ est $C^1$. Alors la fonction $\Phi$ est de classe $C^1$ sur l'intervalle $I$ et on a $$\Phi'(x) = \int_a^b \frac{\partial f(t,x)}{\partial x}dt$$

$\begin{array}{lccl} \text{Soit }f : & [a,b[\times A\subset \mathbb{R}\times E & \longrightarrow & \mathbb{R} \text{(ou }\mathbb{C}\text{)}\\ & (t,x) & \longmapsto & f(t,x) \end{array}$
On suppose $f$ définie et continue.
Si il existe $g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$ définie, continue et positive sur $[a,b[$ telle que $\forall(t,x), |f(t,x)|\leq g(t)$ et tel que $\displaystyle{}\int_a^bg(t)dt$ est un intégrale généralisée convergente, alors l'intégrale généralisée $\int_a^bf(t,x)dt$ converge uniformément.

$\begin{array}{lccl} \text{Soit }f : & [a,b[\times A\subset \mathbb{R}\times E & \longrightarrow & \mathbb{R} \text{(ou }\mathbb{C}\text{)}\\ & (t,x) & \longmapsto & f(t,x) \end{array}$
On suppose que $f$ est définie et continue sur $[a,b[\times A$
On suppose que $f$ se réécrit $f=g\times h$ avec

• pour chaque $x$ fixé, la fonction $g : t\mapsto g(t,x)$ est positive, décroissante et tend vers 0.
• la famille de fonction $g : t\mapsto g(t,x)$ converge uniformément vers la fonction nulle
• $h$ est continue sur $[a,b[\times A$ et $\displaystyle{}\exists M > 0, \forall x\in [a,b[, \forall x\in A, \left| \int_{x_1}^{x_2}h(t,x)dt \right|\leq M$

Alors l'intégrale généralisée $\displaystyle{\int_a^bf(t,x)dt} = \int_a^bg(t,x)h(t,x)dt$ converge uniformément

Soient $a < b$ et $A\subset E$, avec E un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé de dimension $n > 0$.
$\begin{array}{lccll} \text{Soit }f : & [a,b[\times A\subset \mathbb{R}\times E & \longrightarrow & \mathbb{R} \text{(ou }\mathbb{C}\text{)} & \text{définie et continue sur }[a,b[\times A\\ & (t,x) & \longmapsto & f(t,x) \end{array}$
$\begin{array}{lccl} \text{Soit }\Phi : & A\subset E & \longrightarrow & \mathbb{R} \text{ (ou }\mathbb{C}\text{)}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle{}\Phi(x) = \int_a^bf(t,x)dt \end{array}$
Si l'intégrale généralisé $\displaystyle{}\int_a^bf(t,x)dt$ converge uniformément, la fonction $\Phi$ est continue sur $A$

Soient $a < b$ et $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$
Soit $f : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$) définie et continue sur $[a,b[\times I$
$\begin{array}{lccl} \hspace{-5pt}\text{Soit }\Phi : & A\subset E & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x & \longmapsto & \displaystyle{}\Phi(x) = \int_a^bf(t,x)dt \end{array}$
Si l'intégrale généralisée $\displaystyle{}\int_a^bf(t,x)dt$ converge
$\begin{array}{lccll} \hspace{-5pt}\text{Si la fonction }\displaystyle{}\frac{\partial f}{\partial x} : & [a,b[\times I & \longrightarrow & \mathbb{R} & \text{existe et est continue sur }[a,b[\times I\text{ et si l'intégrale}\\ & (t,x) & \longmapsto \frac{\partial f(t,x)}{\partial x} \end{array}$
généralisée $\displaystyle{}\int_a^b\frac{\partial f(t,x)}{\partial x}dt$ converge uniformément

Alors $\Phi$ est de classe $C^1$ sur $I$ et $\displaystyle{}\forall x\in I, \Phi'(x) = \int_a^b \frac{\partial f(t,x)}{\partial x}dt$