Chapitre 10 : Limites

Questions de cours

1. Donner les 9 définitions sur les limites

Définition :

$f : I \to \mathbb{R}, a\in\bar I, \ell\in\overline{\mathbb{R}}$
1. Cas où $\ell\in\mathbb{R}$ et $a\in\mathbb{R}$ $$f(x)\underset{x\rightarrow a}\longrightarrow \ell\text{ ssi }\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x\in I, (|x-a|\leq \delta)\Rightarrow (|f(x) - \ell|\leq \varepsilon)$$ 2. Cas où $\ell = +\infty$ et $a\in\mathbb{R}$ $$f(x)\underset{x\rightarrow a}\longrightarrow+\infty\text{ ssi }\forall A > 0, \exists \delta > 0, \forall x\in I, (|x-a|\leq \delta)\Rightarrow (f(x) \geq A)$$ 3. Cas où $\ell = -\infty$ et $a\in\mathbb{R}$ $$f(x)\underset{x\rightarrow a}\longrightarrow-\infty\text{ ssi }\forall A < 0, \exists \delta > 0, \forall x\in I, (|x-a|\leq \delta)\Rightarrow (f(x) \leq A)$$ 4. Cas où $\ell\in\mathbb{R}$ et $a = +\infty$ $$f(x)\underset{x\rightarrow +\infty}\longrightarrow\ell\text{ ssi }\forall\varepsilon > 0, \exists A > 0, \forall x\in I, (x\geq A)\Rightarrow(|f(x) - \ell| \leq \varepsilon)$$ 5. Cas où $\ell = +\infty$ et $a = +\infty$ $$f(x)\underset{x\rightarrow +\infty}\longrightarrow +\infty\text{ ssi }\forall A > 0, \exists B > 0, \forall x\in I, (x\geq B)\Rightarrow(f(x) \geq A)$$ 6. Cas où $\ell = -\infty$ et $a = +\infty$ $$f(x)\underset{x\rightarrow +\infty}\longrightarrow-\infty\text{ ssi }\forall A \leq 0, \exists B \geq 0, \forall x\in I, (x\geq B)\Rightarrow(f(x)\leq A)$$ 7. Cas où $\ell \in\mathbb{R}$ et $a = -\infty$ $$f(x)\underset{x\rightarrow -\infty}\longrightarrow \ell\text{ ssi }\forall\varepsilon > 0, \exists B < 0, \forall x\in I, (x\leq B)\Rightarrow(|f(x)-\ell|\leq\varepsilon)$$ 8. Cas où $\ell = +\infty$ et $a = -\infty$ $$f(x)\underset{x\rightarrow -\infty}\longrightarrow+\infty\text{ ssi }\forall A > 0, \exists B < 0, \forall x\in I, (x\leq B)\Rightarrow(f(x)\geq A)$$ 9. Cas où $\ell = -\infty$ et $a = -\infty$ $$f(x)\underset{x\rightarrow -\infty}\longrightarrow-\infty\text{ ssi }\forall A < 0, \exists B < 0, \forall x \in I, (x\leq B)\Rightarrow(f(x) \leq A)$$

2. SAVOIR REFAIRE : prouver l'unicité de la limite en raisonnant en terme de voisinages.

Théorème :

Si $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow a}f(x) = \ell$ et $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow a}f(x) = \ell'$
Alors $\ell = \ell'$

Preuve :

Par l'absurde :
si $\ell \neq \ell'$, il existe deux voisinages $U_e$ et $U_e'$ de $\ell$ et $\ell'$ respectivement tq $U_e\cap U_e' = \varnothing$
$\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow a}f(x) = \ell$ d'où un certain $V_a$ voisinage de $a$ tq $f(V_a\cap I)\subset U_e$
$\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow a}f(x) = \ell'$ d'où un certain $V_a'$ voisinage de $a$ tq $f(V_a'\cap I)\subset U_e'$
On pose $W_a = V_a \cap V_a'$
D'après les propriétés élémentaires du voisinage, $W_a$ est un voisinage de $a$
Or $a\in\bar I$, donc $W_a\cap I \neq \varnothing$ et $f(W_a\cap I)\subset U_e\cap\ U_e'$
Contradiction, puisque $U_e\cap U_e' = \varnothing$

3. Donner les définitions de limite à droite, de limite à gauche, puis de limite pointée. En déduire des exemples de fonctions qui n'ont pas de limite.

Définition : limite à droite/gauche

Soit $f : I \to \mathbb{R}$, $a\in\bar I$; $\ell\in\overline{\mathbb{R}}$
1. On dit que $f$ admet $\ell$ pour limite à gauche en $a$ lorsque : $f|_{I\cap]-\infty;a[}$ admet $\ell$ pour limite en $a$.
2. On dit que $f$ admet $\ell$ pour limite à droite en $a$ lorsque : $f|_{I\cap]a;+\infty[}$ admet $\ell$ pour limite en $a$.

Définition : limite pointée

Soient $f : I\to\mathbb{R}$, $\ell\in\overline{\mathbb{R}}$, $a\in\bar I$; $a$ réel
On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$, $x$ différent de $a$ lorsque : pour tout voisinage $U_e$ de $\ell$, il existe un voisinage $V_a$ de $a$ tq $\forall x\in(I\cap V_a)\backslash\{a\}$, $f(x)\in U_e$

4. Donner les relations entre limites et inégalités larges, puis inégalités strictes.

Théorème : Propriétés : Inégalités larges

Soient $f, g : I\to \mathbb{R}$, $a\in\bar I$, $\ell$ et $\ell '$ dans $\mathbb{R}$
On suppose : $\forall x\in I, f(x) \leq g(x)$ et $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow a}f(x) = \ell$, $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow a}g(x) = \ell '$
Alors $\ell \leq \ell '$

Théorème : Propriétés : Inégalités strictes

Soient $f : I\to\mathbb{R}$, $a\in\bar I$, $\ell\in\overline{\mathbb{R}}$, $M$ et $m$ dans $\mathbb{R}$
On suppose que $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a}f(x) = \ell}$
$\begin{array}{ll} \text{Alors : }& \text{Si }\ell < M \text{, alors au voisinage de }a, f(x) < M\\ & \text{Si }\ell > m \text{, alors au voisinage de }a, f(x) > m \end{array}$

5. Donner la caractérisation séquentielle des limites.

Théorème :

Soient $f : I\to\mathbb{R}$, $a\in \bar I$ et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$
Alors $f(x) \underset{x\rightarrow a}\longrightarrow \ell \Leftrightarrow$ Pour toute suite $(u_n)$ dans $I$ tq $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow a$ on a $f(u_n)\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow \ell$

6. SAVOIR REFAIRE : montrer que $\cos$ n'a pas de limite en $+\infty$, et que $\displaystyle{} x \mapsto \sin\left( \frac{1}{x} \right)$ n'admet pas de limite en $0^+$

1. Montrons que $\cos(x)$ n'est pas de limite en $+\infty$
En effet, on pose $u_n = n$, $f(u_n) = \cos(n)$ qui diverge de $2^{\text{ème}}$ espéce (ch. chapitre suites).
Donc $f$ n'a pas de limite en $+\infty$, car si on avait $f(x)\xrightarrow[x\rightarrow+\infty]{}\ell\in\overline{\mathbb{R}}$ alors on aurait $\cos(n) \xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{}\ell$

2. Montrons que $\displaystyle{} x\mapsto \sin\left( \frac{1}{x} \right)$ n'a pas de limite en $0^+$
On utilise deux suites qui tendent vers zèro. $$x_n = \frac{1}{\pi n}\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow0\hspace{40pt}y_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow 0$$ Selon le théorème de caractérisation séquentielle, si $f$ admet une limite $\ell$ en $0^+$, on aurait $f(x_n) \underset{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow \ell$ et $f(y_n)\underset{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow\ell$
$\begin{array}{ll} \text{Or si }n\in\mathbb{N}, & f(x_n) = \sin(\pi n) = 0\\ & f(y_n) = \sin\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = 1 \end{array}$
On aurait alors $0 = 1$ Contradiction.

Conclusion : $f$ n'a pas de limite en $0^+$

7. SAVOIR REFAIRE : montrer que la fonction de Dirichlet, indicatrice de $\mathbb{Q}$, n'a de limite en aucun point.

Soit $a\in\mathbb{R}$ (fixé). Mq $f$ n'a pas de limite en $a$.
$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ : d'où une suite $(x_n)$ dans $\mathbb{Q}$ tq $x_n\underset{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow a$ $$\forall n\in\mathbb{N}, f(x_n) = 1 \hspace{20pt}\text{donc}\hspace{20pt} f(x_n)\underset{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow 1$$ $\mathbb{R}\backslash\{\mathbb{Q\}}$ est aussi dense dans $\mathbb{R}$ d'où une suite $(y_n)$ dans $\mathbb{R}\backslash\{\mathbb{Q\}}$ tq $y_n\underset{n\rightarrow +\infty}\longrightarrow a $
Ainsi $\forall n\in\mathbb{N}$, $f(y_n) = 0$\hspace{20pt} donc \hspace{20pt} $f(y_n)\underset{n\rightarrow+\infty}\longrightarrow 0$

Selon le théorème de caractérisation séquentielle si $f$ admettait une limite on aurait $0 = 1$ Impossible.

Conclusion : $f$ n'a pas de limite en $a$.

8. SAVOIR REFAIRE : énoncer et prouver le théorème d'encadrement pour les limites.

Théorème :

Soient $f$, $g$, $h : I\to\mathbb{R}$ et $a\in\bar I$, $\ell\in\overline{\mathbb{R}}$
On suppose que $\forall x \in I$, $g(x)\leq f(x) \leq h(x)$
1. Si $\left.\begin{array}{l} g(x) \underset{x\rightarrow a}\longrightarrow \ell\\ h(x)\underset{x\rightarrow a}\longrightarrow \ell \end{array}\right\rbrace$ Alors $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow a}f(x) = \ell$
2. Si $g(x)\underset{x\rightarrow a}\longrightarrow +\infty$ alors $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow a}f(x) = +\infty$
3. Si $h(x)\underset{x\rightarrow a}\longrightarrow -\infty$ alors $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow a}f(x) = -\infty$

Preuve :

1. Soit $\varepsilon > 0$
$g(x) \underset{x\rightarrow a}\longrightarrow \ell$, d'où un certain $\delta_1 > 0$ tq $\forall x\in I, (|x-a|\leq\delta_1)\Rightarrow(|g(x) - \ell|\leq \varepsilon)$
$h(x) \underset{x\rightarrow a}\longrightarrow \ell$, d'où un certain $\delta_2 > 0$ tq $\forall x\in I, (|x-a|\leq\delta_2)\Rightarrow(|h(x) - \ell|\leq \varepsilon)$

On pose $\delta = \max\{ \delta_1, \delta_2 \} > 0$
Si $x\in I$ et si $|x-a|\leq \delta$
$\begin{array}{ll} \text{Alors } & |x-a|\leq\delta_1 \text{ donc } \ell - \varepsilon \leq g(x) \leq \ell + \varepsilon\\ & |x-a|\leq\delta_2 \text{ donc } \ell - \varepsilon \leq h(x) \leq \ell + \varepsilon \end{array}$
Donc selon $g(x)\leq f(x) \leq h(x)$
$\ell-\varepsilon\leq g(x)\leq f(x) \leq h(x)\leq \ell + \varepsilon$
Ainsi $|f(x) - \ell|\leq\varepsilon$
donc $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow a}f(x) = \ell$

2. Soit $A > 0$
$g(x) \underset{x\rightarrow a}\longrightarrow +\infty$, d'où un certain $\delta > 0$ tq si $ x\in I$ et si $|x-a|\leq \delta$ alors $g(x) \geq A$
Mais alors $f(x) \geq g(x) \geq A$
donc $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow a}f(x) = +\infty$

3. Soit $A < 0$
$h(x) \underset{x\rightarrow a}\longrightarrow -\infty$, d'où un certain $\delta > 0$ tq si $ x\in I$ et si $|x-a|\leq \delta$ alors $h(x) \leq A$
Mais alors $f(x) \leq h(x) \leq A$
donc $\displaystyle{}\lim_{n\rightarrow a}f(x) = -\infty$

9. Énoncer les rappels essentiels sur les fonctions monotones : définitions, composition et réciproque dans le cas bijectif.

Définition :

Soit $f : I\to\mathbb{R}$
$f$ est dite croissante ssi $\forall (x;y)\in I^2$, $(x\leq y)\Rightarrow (f(x) \leq f(y))$
$f$ est dite strictement croissante ssi $\forall (x;y)\in I^2$, $(x < y)\Rightarrow (f(x) < f(y))$
$f$ est dite décroissante ssi $\forall (x;y)\in I^2$, $(x\leq y)\Rightarrow (f(x) \geq f(y))$
$f$ est dite strictement croissante ssi $\forall (x;y)\in I^2$, $(x < y)\Rightarrow (f(x) > f(y))$

Définition : Composition

$f$ croissante et $g$ croissante $\Rightarrow$ $g\circ f$ croissante
$f$ décroissante et $g$ décroissante $\Rightarrow$ $g\circ f$ croissante
$f$ décroissante et $g$ croissante $\Rightarrow$ $g\circ f$ décroissante
$f$ croissante et $g$ décroissante $\Rightarrow$ $g\circ f$ décroissante

Définition : Réciproque

Si $f : I\to J$ est bijective et monotone.
Alors la fonction réciproque $f^{-1} : J\to I$ est aussi monotone et de même sens de variation que $f$

10. Énoncer le théorème de la limite monotone en un point intérieur à l'intervalle. Illustrer pour les fonctions croissantes et décroissantes.

Théorème :

Soit $f : I\to\mathbb{R}$ une fonction monotone sur $I$
$\begin{array}{l|l|l} \text{Alors }f \text{ admet }& \text{ une limite à droite }& \text{ finies en chaque point "}a \text{" intérieurs a }I\\ & \text{ une limite à gauche }& \end{array}$
$\begin{array}{ll} \text{De plus, }& \text{ si }f \text{ est croissante alors, }f(a-0)\leq f(a)\leq f(a+0)\\ & \text{ si }f \text{ est décroissante alors, }f(a+0)\leq f(a)\leq f(a-0) \end{array}$

11. Énoncer le théorème de la limite monotone aux bords de l'intervalle pour une fonction croissante. Illustrer pour les fonctions croissantes et la borne supérieure de l'intervalle par 4 dessins.

Théorème :

Soit $f : I\to\mathbb{R}$ une fonction monotone sur $I$

On pose $M = \sup(I)$ et $m = \inf(I)$ (dans $\overline{\mathbb{R}}$)

Alors $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow M^-}f(x)$ et $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow m^+}f(x)$ existe dans $\overline{\mathbb{R}}$

De plus, par exemple, si $f$ est croissante, alors

$\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow M^-}f(x)\in\mathbb{R}$ si $f$ est majorée, et vaut $+\infty$ sinon.
$\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow m^+}f(x)\in\mathbb{R}$ si $f$ est minorée, et vaut $-\infty$ sinon.

12. Donner les définitions des notions de négligeabilité, équivalence au voisinage d'un point.

Définition : négligeabilité

On dit que $f$ est négligeable devant $g$ ou que $g$ est prépondérante devant $f$ au voisinage de $ a$ lorsqu'il existe une fonction $\varepsilon : J\to\mathbb{R}$ où $ J $ un voisinage de $a$ tq :
$\bullet$ $\forall x\in J, f(x) = \varepsilon(x) g(x)$
$\bullet$ $\displaystyle{} \lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x) = 0$

Mêmes notations que les suites.

Définition : équivalence

On dit que $f$ et $g$ sont équivalentes au voisinage de $a$ lorsqu'il existe $\varepsilon : J\to\mathbb{R}$ où $J$ est un voisinage de $a$ tq :
$\bullet$ $\forall x\in J,f(x) = (1+\varepsilon(x))g(x)$
$\bullet$ $\displaystyle{} \lim_{x\rightarrow a}\varepsilon(x) = 0$

Mêmes notations que les suites.

13. Donner les négligeabilités usuelles en $+\infty$.

Théorème :

1. Puissance : si $\alpha < \beta$ alors $x^{\alpha}\underset{+\infty}\ll x^{\beta}$
2. Soient $\alpha > 0$, $\beta > 0$, $a > 1$ $$(\ln(x))^\beta\underset{+\infty}\ll x^{\alpha}\underset{+\infty}\ll a^x \underset{+\infty}\ll x^x$$

14. Donner les équivalents usuels en zéro (12 équivalents).

Théorème :

$\begin{array}{lc} \text{1. exp, }\ln \text{, puissance : }& \ln(1+x)\underset{x\rightarrow 0}\sim x\\ & e^x-1 \underset{x\rightarrow 0}\sim x\\ & (1+x)^{\alpha}-1\underset{x\rightarrow 0}\sim \alpha x \end{array}$

$\begin{array}{lc} \text{2. Trigo circulaire : }& \sin(x)\underset{x\rightarrow 0}\sim x\\ & 1-\cos(x) \underset{x\rightarrow 0}\sim \frac{x^2}{2}\\ & \tan(x) \underset{x\rightarrow 0}\sim x \end{array}$

$\begin{array}{lc} \text{3. Trigo hyperbolique : }& sh(x)\underset{x\rightarrow 0}\sim x\\ & ch(x) - 1 \underset{x\rightarrow 0}\sim \frac{x^2}{2}\\ & th(x) \underset{x\rightarrow 0}\sim x \end{array}$

$\begin{array}{lc} \text{4. Trigo inverse : }& \arcsin(x) \underset{x\rightarrow 0}\sim x\\ & \arctan(x) \underset{x\rightarrow 0}\sim x\\ & \frac{\pi}{2} - \arccos(x) \underset{x\rightarrow 0}\sim x \end{array}$

15. SAVOIR REFAIRE : donner un équivalent en zéro de $\displaystyle{}e^{\tan(x)}-\cos(x)$ puis de $e^{\sin(\ln(x))}-1$ en 1.

Exemple 1:

Soit $x\in\mathbb{R}$
$\displaystyle{}f(x) = e^{\tan(x)}-1 + 1-\cos(x)$
On pose $y = \tan(x) \underset{x\rightarrow 0}\longrightarrow 0$
Or $e ^y - 1 \underset{y\rightarrow 0}\sim y$
Donc $\displaystyle{}e^{\tan(x)}-1\underset{x\rightarrow 0}\sim \tan(x)$ or $\tan(x)\underset{x\rightarrow 0}\sim x$
Donc $\displaystyle{}e^{\tan(x)}-1\underset{x\rightarrow 0}\sim x$
Par ailleurs $\displaystyle{}1 - \cos(x)\underset{x \rightarrow 0}\sim \frac{x^2}{2}$
or $\displaystyle{}\frac{x^2}{2}\underset{x\rightarrow 0}\ll x$ donc $\displaystyle{}1 - \cos(x) \underset{x\rightarrow 0}\ll e^{\tan(x)}-1$
On néglige ce qui est négligeable.
Donc $f(x) \underset{x\rightarrow 0}\sim x$

Exemple 2:

On pose : $y = \sin(\ln(x))\underset{x\rightarrow 1}\longrightarrow 0$
or $e^y - 1\underset{y\rightarrow 0}\sim y$
Donc $f(x) \underset{x\rightarrow 1}\sim \sin(\ln(x))$
On pose $t = \ln(x)\underset{x\rightarrow 1}\longrightarrow 0$ or $\sin(t) \underset{t\rightarrow 0}\sim t$
Donc $f(x) \underset{x\rightarrow 1}\sim \ln(x)$
On pose $x = 1+h$
or $\ln(1+h)\underset{h\rightarrow 0}\sim h$
Donc $f(x) \underset{x\rightarrow 1}\sim x-1$

16. Soit $\lambda$ une constante réelle. Que signifie $f(x) \underset{x\rightarrow a}\sim \lambda$, si $\lambda\neq 0$ ? Et si $\lambda = 0$ ?

Théorème :

1. Si $f(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} \lambda\in\mathbb{R}^*$ ($\lambda \neq 0$ et $\lambda \neq \pm\infty$), alors $f(x) \underset{x\rightarrow a}\sim \lambda$
2. Si $f(x) \underset{x\rightarrow a}\sim g(x)$ et si $f(x) \underset{x\rightarrow a}\longrightarrow \ell \in\overline{\mathbb{R}}$ alors $g(x)\xrightarrow[x\rightarrow a]{} \ell$

Si $f(x) \xrightarrow[x\rightarrow a]{} \lambda$ et si $\lambda = 0$ alors $f$ est une constante.

17. SAVOIR REFAIRE : pour $x > 0$, on pose $\displaystyle{} f(x) = x + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}}$. Déterminer une asymptote à $f$ en $+\infty$ et préciser sa position par rapport à la courbe.

$\mathscr{C}_f$ admet en $+\infty$ une asymptote oblique évidente $\Delta : y = x$
Il s'agit d'étudier le signe de $f(x) - x$ au voisinage de $+\infty$
On cherche donc un équivalent :
Ici $\sqrt{x}\underset{+\infty}\ll x^2$, $x^2 + \sqrt{x}\underset{+\infty}\sim x^2$ donc $\displaystyle{}\frac{1}{x^2 + \sqrt{x}}\underset{+\infty}\sim \frac{1}{x^2}$
Or $\displaystyle{}\frac{1}{x^2}\underset{+\infty}\ll\frac{1}{x}$
Donc $\displaystyle{}f(x) - x \underset{+\infty}\sim \frac{1}{x} > 0$, donc au voisinage de $+\infty$, $f(x) \geq x$ i.e. $\mathscr{C}_f$ est au dessus de $\Delta$

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