Chapitre 1 : Intégrales généralisées

Considérons pour $x\in[a,b[$, $\displaystyle{}F(x) = \int_a^xf(t)dt$
Grâce à la relation de Chasles $$F(x) = \int_a^xf(t)dt = \underbrace{\int_a^{a'}f(t)dt}_{\alpha\in\mathbb{R}} + \int_{a'}^xf(t)dt$$ On voit sur cette égalité que l'existence de la limite quand $x\rightarrow b$ de $\displaystyle{}\int_a^x f(t)dt$ est équivalente à l'existence de la limite quand $\displaystyle{}\int_{a'}^x f(t)dt$ $1\Rightarrow 2$ : On suppose que $\displaystyle{}\int_a^bf(t)dt$ est convergente i.e. $\displaystyle{}\lim_{\substack{x\rightarrow b\\ x < b}}F(x) = \lim_{\substack{x\rightarrow b\\ x < b}}\int_a^x f(t)dt = \ell\in\mathbb{R}$
Or écrire que $\displaystyle{}\lim_{\substack{x\rightarrow b\\ x < b}} = \ell$ revient à écrire que $\forall \varepsilon > 0, \exists c\in[a,b[, \forall x\in[a,b[, x\geq c \Rightarrow |F(x)-\ell|\leq \varepsilon$
Donc
$\forall \varepsilon > 0, \exists c\in[a,b[, \forall x_1\in[a,b[, x_1\geq c \Rightarrow |F(x_1)-\ell|\leq \varepsilon$
$\forall \varepsilon > 0, \exists c\in[a,b[, \forall x_1\in[a,b[, x_2\geq c \Rightarrow |F(x_1)-\ell|\leq \varepsilon$

Donc
$\forall \varepsilon > 0, \exists c\in[a,b[, \forall x_1\in[a,b[\text{ et }\forall x_2\in[a,b[, x_1\geq c\text{ et }x_2\geq c \Rightarrow |F(x_1)-\ell| < \varepsilon \text{ et }|F(x_2)-\ell| < \varepsilon$
\begin{eqnarray*} \Rightarrow |F(x_2)-F(x_1)| &=& |F(x_2)-\ell+\ell-F(x_1)|\\ \left| \int_{x_1}^{x_2}f(t)dt \right|&\leq& |F(x_2)-\ell|+|F(x_1)-\ell| \hspace{20pt}\text{par inégalité triangulaire}\\ & < &2\varepsilon \end{eqnarray*} $2\Rightarrow 1$ admis. Appliquons le critère de Cauchy à la fonction $|f|$.
Par hypothèse : l'intégrale généralisé $\int_a^b |f(t)|dt$ converge, ce qui est équivalent à :
$\displaystyle{}\forall \varepsilon > 0, \exists x\in [a,b[, \forall x_1\in[c,b[\text{ et }\forall x_2\in[c,b[, \left| \int_{x_1}^{x_2}|f(t)|dt \right| < \varepsilon$

$1^{\text{er}}$ cas : $x_1\leq x_2$, $\displaystyle{}0\leq \int_{x_1}^{x_2} |f(t)|dt = \left| \int_{x_1}^{x_2} |f(t)|dt \right| < \varepsilon$

$2^{\text{ème}}$ cas :$x_1\geq x_2$, $\displaystyle{}0\leq \int_{x_2}^{x_1} |f(t)|dt = \left| \int_{x_1}^{x_2} |f(t)|dt \right| < \varepsilon$

Donc ici $\displaystyle{} \left| \int_{x_1}^{x_2}f(t)dt \right| \leq \left| \int_{x_1}^{x_2}|f(t)|dt \right| < \varepsilon$

En résumé on vient d'obtenir $\displaystyle{}\forall \varepsilon > 0, \exists x\in[a,b[, \forall x_1\in [c,b[\text{ et }\forall x_2\in[c,b[, \left| \int_{x_1}^{x_2}f(t)dt \right| < \varepsilon$
Ce qui entraîne (Cauchy) que $\displaystyle{}\int_a^b f(t)dt$ converge. Supposons que $\displaystyle{}\int_a^b f(t)dt$ est une intégrale généralisée convergente.
Donc $\displaystyle{}\exists \ell\in\mathbb{R}_+, \lim_{\substack{x\rightarrow b\\x < b}}F(x) = \lim_{\substack{x\rightarrow b\\ x < b}}\int_a^xf(t)dt = \ell$
D'autre part $F$ est croissante.
Donc $\forall x\in [a,b[, F(x) \leq \ell$.
On pose $M = \ell$

Réciproquement, supposons que $\exists M > 0, \forall x\in [a,b[, F(x)\leq M$
Or $F$ est croissante, donc par théorème de la limite monotone $\displaystyle{}\exists \ell\in\mathbb{R}, \lim_{\substack{x\rightarrow b\\ x < b}} = \ell$
Donc $\displaystyle{}\int_a^bf(t)dt$ converge. $\forall x\in[a,b[$ on a $\displaystyle{}\int_a^xf(t)dt\leq\int_a^xg(t)dt$ autrement dit $F(x)\leq G(x)$.
On se rappelle que $F$ et $G$ sont des fonctions croissantes.
1. Si $\displaystyle{}\int_a^x g(t)dt$ converge, cela signifie que $\displaystyle{}\lim_{\substack{x\rightarrow b\\ x < b}}G(x) = \ell_2\in\mathbb{R}_+$ et que $\forall x\in[a,b[, G(x)\leq \ell_2$.
D'après $F(x)\leq G(x)$ on a $F(x)\leq \ell_2$ donc par propriété en posant $M = \ell_2$, on obtient que $\displaystyle{}\int_a^bf(t)dt$ converge.

2. si $\displaystyle{}\int_a^bf(t)dt$ diverge, cela signifie que $\displaystyle{}\lim_{\substack{x\rightarrow b\\ x < b}}F(x)$ n'existe pas dans $\mathbb{R}$.
Or $F$ est croissante
Donc $\displaystyle{}\lim_{\substack{x\rightarrow b \\ x < b}}F(x) = +\infty$
D'après $F(x)\leq G(x)$, $\displaystyle{}\lim_{\substack{x\rightarrow b \\ x < b}}G(x) = +\infty$
Donc $\displaystyle{}\int_a^bg(t)dt$ diverge. $\forall \varepsilon > 0 , \exists c\in[a,b[, \forall t\geq c \Rightarrow (1-\varepsilon) g(t)\leq f(t)\leq (1+\varepsilon) g(t)$
Nous avons là des dominations. On fait donc appel au critère de domination. $1^{\text{er}}$ cas : $\alpha = 1$ $$F(x) = \int_1^x \frac{1}{t}dt = [\ln(t)]_1^x = \ln(x)$$ Or $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x) = +\infty$, donc $\displaystyle{}\int_1^{+\infty}\frac{1}{t}dt$ diverge

$2^{\text{ème}}$ cas : $\alpha\neq 1$ \begin{eqnarray*} F(x) &=& \int_1^x \frac{1}{t^{\alpha}}dt\\ &=& \left[ \frac{1}{(1-\alpha)}\frac{1}{t^{\alpha-1}} \right]_1^x\\ &=& \frac{1}{(1-\alpha)}\frac{1}{x^{\alpha-1}}-\frac{1}{1-\alpha} \end{eqnarray*} Or pour $\alpha > 1$ $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x) = \frac{1}{\alpha-1}\in\mathbb{R}$ et pour $\alpha < 1$ $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x) = +\infty$ $\displaystyle{}f(t) = \frac{1}{(b-t)^{\alpha}}$ est une fonction définie continue et positive sur $[a,b[$.

$1^{\text{er}}$ cas : $\alpha=1$ \begin{eqnarray*} F(x) &=& \int_a^x\frac{1}{b-t}dt\\ &=& [-\ln(b-t)]_a^x\\ &=& -\ln(b-x)+\ln(b-a)\\ &=& \ln\left( \frac{b-a}{b-x} \right) \end{eqnarray*} Or $\displaystyle{}\lim_{\substack{x\rightarrow b\\ x < b}} F(x) = +\infty$, donc $\displaystyle{}\int_a^b \frac{1}{b-t}dt$ diverge.

$2^{\text{nd}}$ cas : $\alpha\neq 1$ \begin{eqnarray*} F(x) &=& \int_a^x \frac{1}{(b-t)^{\alpha}}dt\\ &=& \left[ \frac{1}{\alpha-1}\frac{1}{(b-t)^{\alpha-1}} \right]_a^x\\ &=& \frac{1}{\alpha-1}\frac{1}{(b-x)^{\alpha-1}}-\frac{1}{\alpha-1}\frac{1}{(b-a)^{\alpha-1}} \end{eqnarray*} Or pour $\alpha > 1$ $\displaystyle{}\lim_{\substack{x\rightarrow b \\ x < b}}F(x) = +\infty$ et pour $\alpha < 1$ $\displaystyle{}\lim_{\substack{x\rightarrow b \\ x < b}}F(x) = \frac{1}{1-\alpha}\frac{1}{(b-a)^{\alpha-1}}\in\mathbb{R}$ 1. On suppose qu'il existe $\alpha > 1$ tel que $\displaystyle{}\lim_{t\rightarrow+\infty}t^{\alpha}f(t) = 0$
$\forall\varepsilon > 0, \exists r > 0, \forall t\in[a,+\infty[, t\geq r\Rightarrow |t^{\alpha}f(t)|\leq \varepsilon$
$\forall\varepsilon > 0, \exists r > 0, \forall t\in[a,+\infty[, t\geq r\Rightarrow f(t)\leq \frac{\varepsilon}{t^{\alpha}}$
Par critère de domination, vu que $\displaystyle{}\int_a^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt$ converge car $\alpha > 1$ alors $\displaystyle{}\int_a^{+\infty}f(t)dt$ converge.

2. $\forall 1 > 0, \exists r \in [a,+\infty[, \forall t \geq r \Rightarrow |t^{\alpha}f(t)|\geq A$
$\forall 1 > 0, \exists r \in [a,+\infty[, \forall t \geq r \Rightarrow f(t)\geq \frac{A}{t^{\alpha}}$

Par critère de domination vu que l'intégrale généralisé $\displaystyle{}\int_a^{+\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt$ diverge car $\alpha < 1$ alors l'intégrale généralisée $\displaystyle{}\int_a^{+\infty}f(t)dt$ diverge. Admis $1^{\text{er}}$ cas : $\alpha = 1$
On s'intéresse à $\displaystyle{}\int_a^{+\infty}\frac{1}{t\ln(t)^{\beta}}dt$, c'est du type $\displaystyle{}\int_a^{+\infty}\frac{u'}{u^{\beta}}dt$ avec $u = \ln(t)$ et $\displaystyle{}u' = \frac{1}{t}$
Or $\displaystyle{}\frac{u'}{u^{\beta}} = u'u^{-\beta}$ dont une primitive est $\displaystyle{}\frac{u^{-\beta+1}}{-\beta+1}$
Dans le cas $\beta \neq 1$
La fonction intégrale est \begin{eqnarray*} F(x) &=& \int_a^xu'u^{-\beta}dt\\ &=& \left[ \frac{u^{-\beta+1}}{-\beta+1} \right]_a^x\\ &=& \left[ \frac{(\ln(t)^{-\beta+1})}{-\beta+1} \right]_a^x\\ &=& \frac{-(\ln(a))^{-\beta+1}}{-\beta+1} + \frac{(\ln(x))^{-\beta+1}}{-\beta+1} \end{eqnarray*} Pour $\beta < 1$, $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x) = +\infty$
Pour $\beta > 1$, $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x) = \frac{-(\ln(a))^{-\beta+1}}{-\beta+1}\in\mathbb{R}$
Dans le cas $\beta = 1$, la fonction intégrale est $\displaystyle{}F(x) = \int_a^x\frac{1}{t\ln(t)}dt$, c'est du type $\displaystyle{}\frac{u'}{u}$ dont une primitive est $\ln(u)$.
Donc $\displaystyle{}F(x) = [\ln(\ln(t))]_a^x = \ln(\ln(x))-\ln(\ln(a))$
Ainsi $\displaystyle{}\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x) = +\infty$
Donc l'intégrale généralisée $\displaystyle{}\int_a^{+\infty}\frac{1}{t\ln(t)}$ diverge.

$2^{\text{ème}}$ cas :
Je multiplie la fonction par $\displaystyle{}t^{\frac{\alpha+1}{2}}$ $$t^{\frac{\alpha+1}{2}} \times \frac{1}{t^{\alpha}(\ln(t))^{\alpha}} = \frac{1}{t^{\frac{\alpha-1}{2}}(\ln(t))^{\beta}}$$ Voyons ce que devient cette expression quand $t$ tend vers $+\infty$.
$1^{\text{er}}$ sous-cas : $\alpha > 1$ $$\lim_{t\rightarrow+\infty}t^{\frac{1}{\alpha+1}}f(t) = \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{1}{t^{\frac{\alpha-1}{2}}(\ln(t))^{\beta}} = 0$$ Donc par critère de la puissance, l'intégrale généralisée $\displaystyle{}\int_0^{+\infty}f(t)dt$ converge.
$2^{\text{ème}}$ sous cas : $\alpha < 1$ $$\lim_{t\rightarrow+\infty}t^{\frac{1}{\alpha+1}}f(t) = \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{1}{t^{\frac{\alpha-1}{2}}(\ln(t))^{\beta}}=+\infty$$ Donc par critère de la puissance, l'intégrale généralisée $\displaystyle{}\int_0^{+\infty}f(t)dt$ diverge.