Chapitre 8 : Ensembles ordonnés et réels

Questions de cours

1. Donner la définition d'une relation d'ordre. Qu'est ce qu'un ordre total ? partiel ? Donner un exemple d'ordre partiel.

Définition :

Soit $E$ un ensemble. On appelle relation d'ordre sur $E$ une "relation binaire" $R$ sur $E$ vérifiant :
1. Réfléxivité : $\forall x\in E, x R x$ (lire "$x$ en relation avec $x$")
2. Antisymétrie : $\forall(x,y)\in E^2, (xRy\text{ et }yRx)\Rightarrow (x=y)$
3. Transitivité : $\forall(x,y,z)\in E^3, (xRy\text{ et }yRz)\Rightarrow (xRy)$

On notera alors plutôt $\leq$ ou $\preceq$ au lieu de $R$.
On parlera de l'ensemble ordonné $(E,\preceq)$

Définition :

Soit $(E,\preceq)$ un ensemble ordonné.
On dit que l'ordre $\leq$ est total lorsque les éléments de $E$ sont tous 2 à 2 comparables. i.e. $\forall(x,y)\in E^2, (x\preceq y)$ ou $(y\preceq x)$.
Si ce n'est pas le cas, on dit que l'ordre est partiel.
On parle d'ensemble totalement ordonné ou partiellement ordonné.

$(P(X), \subset)$ est partiellement ordonné (sauf si $X\varnothing$ ou si $X$ est un singleton.
$(\mathbb{N}^*, |)$ est partiellement ordonné.

2. Définir rigoureusement les termes majorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure. Quantifiez ces définitions.

Définition :

On appelle minorant de $A$ tout élément $u$ de $E$ tel que $\forall a\in A, u\leq a$

Définition :

On appelle majorant de $A$ tout élément $v$ de $E$ tel que $\forall a\in A, a\leq v$

Définition :

On appelle maximum de $A$ tout élément $M\in E$ tel que
$\left\lbrace\begin{array}{l} 1.\text{ }M\text{ est un majorant de }A\\ 2.\text{ }M\in A \end{array}\right.$
noté $\max(A)$

Définition :

On appelle minimum de $A$ tout élément $m\in E$ tq
$\left\lbrace\begin{array}{l} 1.\text{ }m\text{ est un minorant de }A\\ 2.\text{ }m\in A \end{array}\right.$
noté $\min(A)$

Définition :

On suppose que $A$ est majorée et que l'ensemble des majorants de $A$ admet un plus petit élément (minimum).
Alors celui ci est unique et est appelé borne supérieure de $A$, noté $\sup(A)$

Définition :

On suppose que $A$ est minorée et que l'ensemble des minorants de $A$ admet un plus grand élément (maximum).
Alors celui-ci est unique et est appelé la borne inférieure de $A$, noté $\inf(A)$

Définition :

Si $A$ admet un maximum, alors elle admet une bonne supérieure et $\sup(A) = \max(A)$
Si $A$ admet un minimum, alors elle admet une borne inférieure et $\inf(A) = \min(A)$

3. Donner la définition d'un anneau (unitaire). Qu'est ce qu'un élément inversible d'un tel anneau ? Donner un exemple d'anneau différent de $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.

Définition :

Soient $A$ un ensemble, + et $\times$ deux lois internes sur $A$. On dit que $(A,+,\times)$ est un anneau unitaire si
1. $(A,+)$ est un groupe abélien (i.e. commutatif) on note alors $0 = 0_A$ l'élément neutre pour la loi +.
2. $\times$

est associative : $\forall(a,b,c)\in A^3, a\times(b\times c) = (a\times b)\times c$
admet un élément neutre, noté $1_A$
est distributive par rapport à + i.e. $\forall(a;b;c)\in A^3, a\times (b+c) = a\times b + a\times c, (b+c)\times a = b\times a + c\times a$
est une loi interne.

Si de plus la loi $\times$ est commutative (i.e. $\forall(a,b)\in A^2, a\times b = b\times a$) alors on parle d'anneau commutatif unitaire.

Définition :

Si $(A,+,\times)$ est un anneau unitaire, un élément $a\in A$ est dit inversible s'il existe $b\in A$ tq $a\times b = b\times a = 1_A$

On note $\mathscr{I}(A)$ l'ensemble des éléments inversible de $A$

Exemple :
$(\mathscr{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}),+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire.
Si on définit les lois $+$ et $\times$ par $(f+g) : x\mapsto f(x)+g(x)$ et $f\times g : x \mapsto f(x)\times g(x)$
L'élément neutre pour la loi + est la fonction nulle et celui pour la loi $\times$ est l'application égale à 1

4. Donner la définition d'un corps. Donner un exemple d'anneau qui ne soit pas un corps.

Définition :

Soient $K$ un ensemble, $+$ et $\times$ deux lois internes sur $K$.
On dit que $(K,+,\times)$ est un corps si
1. $(K,+,\times)$ est un anneau unitaire
2. Tout élément différent de $0_K$ est inversible i.e. $\mathscr{I}(K) = K^* = K\backslash \{0_K\}$

Si la loi $\times$ est commutative, on parle alors de corps commutatif

$\bullet$ $(\mathbb{Z},+,\times)$ n'est pas un corps car $\mathscr{I}(\mathbb{Z}) = \{+1;-1\}\neq\mathbb{Z}^*$

5. Citer l'axiome de la borne supérieure, et la propriété de la borne inférieure.

Définition : Axiome de la borne supérieure

On dit qu'un ensemble ordonné $(E,\leq)$ vérifie l'axiome de la borne supérieure (ABS) lorsque :

Toute partie non vide et majorée de $E$ admet une borne supérieure.

Théorème : Propriété de la borne inférieure

Toutes partie non vide et minorée de $\mathbb{R}$ admet une borne inférieure.

6. Énoncer la définition et les propriétés de la valeur absolue, puis prouver que si $x$ et $y$ sont réels, alors $||x|-|y||\leq |x-y|$

Théorème :

Soient $x$ et $y$ des réels.
Alors
1. $|x| = 0$ ssi $x = 0$
2. $|xy| = |x||y|$
3. $|x+y|\leq |x|+|y|$ avec égalité ssi $x$ et $y$ sont de même signe
4. $|x|-|y| \leq |x\pm y|$

Preuve :

Voir la preuve dans $\mathbb{C}$ (Chapitre 4)
Pour le cas d'égalité, $x$ et $y$ sont sur une même demi-droite issue de 0 ssi $x$ et $y$ sont dans $\mathbb{R}_+$ ou dans $\mathbb{R}_-$

7. Définition et propriétés de la fonction racine carrée.

Théorème :

$\forall x\in\mathbb{R}_+, \exists! y\in\mathbb{R}_+, y^2=x$
Cet unique réel $>0$ est noté $y=\sqrt{x}$
Ainsi, si $x>0$, alors $\sqrt{x}$ est le seul réel positif tq $\sqrt{x}^2=x$

Théorème : Propriétés élémentaires

1. $\forall x\in\mathbb{R}$, $\sqrt{x^2}=|x|$
2. $\forall (x,y)\in (\mathbb{R}_+)^2$, $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\times\sqrt{y}$
3. Dans $\mathbb{R}$, les carrés sont exactement les éléments de $\mathbb{R}_+$

8. SAVOIR REFAIRE : montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Par l'absurde : supposons que $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$
D'où $p\in\mathbb{N}$ et $q\in \mathbb{N}^*$ tq $\displaystyle{} \left| \sqrt{2} = \frac{p}{q} \right|$.
On peut toujours supposer que $p$ et $q$ sont premier entre eux (i.e. leur seul diviseur commun dans $\mathbb{N}$ est 1)
$\displaystyle{} (\sqrt{2})^2 = \left( \frac{p}{q} \right)^2$, donc $\displaystyle{} 2 = \frac{p^2}{q^2}$ donc $2p^2 = q^2$

lemme :

Le carré d'un nombre pair est pair.
Le carré d'un nombre impair est impair.

$q^2 = 2p^2$ donc $q$ est pair.
d'où un certain $k\in\mathbb{N}$ tq $q=2k$
Ainsi $4k^2 = 2p^2$
Donc $2k^2 = p^2$
Ainsi $p^2$ est pair, donc $p$ est pair.
Donc $p$ et $q$ sont pairs.
Contradiction avec le fait que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
Conclusion : $\sqrt{2}$ est irrationnel.

9. Définition et propriétés de la fonction partie entière

Définition : Fonction partie entière

$$\forall x\in\mathbb{R},\exists! n\in\mathbb{Z},n\leq x < n+1$$ Cet unique $n$ est appelé partie entière de $x$, noté $E(x)$ (ou parfois $[x]$)

Théorème : Propriétés

$\forall x\in\mathbb{R}, E(x) = \max\{n\in\mathbb{Z}/n\leq x\}$
$x\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow E(x) = x$
$\begin{array}{lccl} E : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{Z}\\ & x & \mapsto & E(x) \end{array}$ est une fonction croissante constante sur tout $[p;p+1[$ où $p\in\mathbb{Z}$ (croissante mais pas strictement).

10. SAVOIR REFAIRE : énoncer puis prouver le fait que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Définition :

Soit $A\subset \mathbb{R}$
On dit que $A$ est une partie dense de $\mathbb{R}$ lorsque tout intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit a un singleton contient un élément de $A$ i.e. $$\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2, (a<b)\Rightarrow (\exists x\in A, a < x < b)$$

Théorème :

$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$

Preuve :

Soient $a<b$ dans $\mathbb{R}$
Il s'agit de trouver un rationnel dans l'intervalle $]a,b[$.
1. "on dilate l'intervalle $]a,b[$"

lemme : Propriété d'Archimède

$\forall x>0$, $\forall y\in\mathbb{R}$, $\exists n\in \mathbb{N}$, $nx\geq y$

J'affirme que $\exists N\in\mathbb{N}^*, Nb-Na > 1$
en effet il suffit d'appliquer la propriété d'Archimède avec $"x"\leftarrow \varepsilon = b-a > 0$ et $"y"\leftarrow 1$
d'où $N\in\mathbb{N}^*$ tq $N(b-a) > 1$

2. Montrons que $]Na,Nb[$ contient un entier.
On pose $m = E(Na)+1$
Par définition de la partie entière $$E(na) \leq Na < E(Na)+1 = m$$ Donc $Na<m$
$m = E(Na)+1 \leq Na+1$ et $1<Nb-Na$
Donc $m<Na+Nb-Na$ i.e. $m < Nb$
Donc $m\in]Na,Nb[$

3. $Na<m<Nb$
Donc $\displaystyle{} a < \underbrace{\frac{m}{N}}_{\text{rationnel}}<b$

11. SAVOIR REFAIRE : prouver que $\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$

Théorème :

$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$

Preuve :

Soient $a<b$ dans $\mathbb{R}$
On pose $a' = a+\sqrt{2}$ et $b' = b+\sqrt{2}$
$a'<b'$ et $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$
D'où un certain rationnel $r\in \mathbb{Q}$ tq $a'<r<b'$
Ainsi $a+\sqrt{2} < r < b+\sqrt{2}$
Ainsi $a < r -\sqrt{2} < b$
Or $\sqrt{2}$ est irrationnel donc $r-\sqrt{2}$ est irrationnel.
D'où le résultat.

12. Quelle est la définition d'une partie convexe de $\mathbb{R}$ ? Quelles sont les parties convexes de $\mathbb{R}$ ?

Définition :

Une partie $A\subset \mathbb{R}$ est dite convexe ssi $\forall(x,y)\in A^2, (x\leq y)\Rightarrow [x,y]\subset A$.
Les parties convexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles.

13. Définir la droite numérique achevée $\overline{\mathbb{R}}$

Définition :

Rappel sur $\overline{\mathbb{R}}$ : on ajoute à l'ensemble $\mathbb{R}$ deux éléments non réels $+\infty$ et $-\infty$ de sorte que l'on prolonge l'ordre de $\mathbb{R}$ à $\overline{\mathbb{R}}$ en exigeant $$\forall x\in\mathbb{R}, -\infty < x < +\infty\hspace{20pt}\text{et }\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$$ On obtient alors un ordre total sur $\overline{\mathbb{R}}$ tq $\max(\overline{\mathbb{R}}) = +\infty$ et $\min(\overline{\mathbb{R}}) = -\infty$
Toute partie de $\overline{\mathbb{R}}$ admet une borne supérieure, une borne inférieure.

14. SAVOIR REFAIRE : soit $A = \left\lbrace x\in\mathbb{Q} / x^2 < 2 \right\rbrace$. Montrer que $A$ n'admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$.

Soit $A = \{x\in\mathbb{Q} / x^2<2\}$.Montrons que $A$ n'admet pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$.
Par l'absurde, soit $q = \sup(A)\in\mathbb{Q}$, $q\neq \sqrt{2}$ car $\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$

$1^{\text{er}}$ cas : Si $q<\sqrt{2}$
$\mathbb{Q}$ étant dense dans $\mathbb{R}$, il existe $r\in\mathbb{Q}$ tel que $q<r<\sqrt{2}$.
Alors $r^2\leq 2$ donc $r\in A$ et $r>q$.
Cela contredit le fait que $q$ est majorant de $A$.

$2^{\text{nd}}$ cas : Si $q>\sqrt{2}$
$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.
D'où $r'\in\mathbb{Q}$ tq $\sqrt{2} < r' < q$
Mais alors $r'$ est un majorant rationnel de $A$ (car $A = \mathbb{Q} \cap ]-\sqrt{2};\sqrt{2}[$) avec $r'<q$, ce qui contredit le fait que $q$ est le plus petit des majorant de $A$.
Contradiction.

15. SAVOIR REFAIRE : énoncer et prouver la caractérisation epsilonesque de la borne supérieure dans $\mathbb{R}$.

Théorème : Caractérisation epsilonesque

Soit $A\subset \mathbb{R}$ majorée et non vide (d'où l'existence de sa borne supérieure). Montrons que $\sup(A)$ est l'unique réel $\mu\in\mathbb{R}$ tq
1. $\mu$ est un majorant de $A$
2. $\forall\varepsilon>0, \exists a\in A, \mu -\varepsilon < a\leq \mu $

Preuve :

1. évident car la borne supérieure est toujours un majorant.
2. Soit $\varepsilon > 0$
$\mu-\varepsilon < \mu = \sup(A)$ qui est le plus petit des majorants de $A$.
Donc $\mu-\varepsilon$ n'est pas un majorant de $A$
d'où $a\in A$ tel que $\mu-\varepsilon < a$.
Par ailleurs $a\leq \sup(A)$ car le $\sup$ est un majorant.
D'où le résultat

Unicité : Soit $\mu'\in\mathbb{R}$ vérifiant 1. et 2.
Montrons que $\mu'=\mu$ ($\sup(A)$)
D'après 1. $\mu'$ est un majorant de $A$
Donc $\mu \leq \mu'$ (car $\mu = \sup(A)$ est le plus petit des majorants de $A$)

Par l'absurde, si $\mu\neq\mu'$, alors $\mu<\mu'$.
On pose $\varepsilon = \mu'-\mu > 0$
Or $\mu'$ vérifie le 2. d'où un certain $a\in A$ tel que $\mu'-\varepsilon < a \leq \mu'$.
Ainsi $\mu < A$ avec $a\in A$.
Contradiction avec le fait que $\mu = \sup(A)$ est un majorant de $A$.
Donc $\mu'=\mu$ d'où l'unicité.

16. SAVOIR REFAIRE : définir la norme infinie d'une fonction bornée de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Prouver l'inégalité triangulaire pour cette norme.

Définition :

Soient $E$ un ensemble non vide et $f\in \mathscr{F}(E,\mathbb{R})$ une fonction bornée.
On appelle norme infinie de $f$ le réel positif $$||f||_{\infty} = \sup\{|f(x)|/x\in E\}$$

Théorème :

Soient $f$ et $g$ des fonctions bornées de $E$ dans $\mathbb{R}$.
Alors $f+g$ est bornée et $$||f+g||_{\infty}\leq ||f||_{\infty}+||g||_{\infty}$$

Preuve :

Soit $x\in E.$
$|f(x)|\leq ||f||_{\infty}$ car $||f||_{\infty}$ est un majorant de $\{|f(x)|/x\in E\}$
De plus, $|g(x)|\leq ||g||_{\infty}$ car $||g||_{\infty}$ est un majorant de $\{|g(x)|/x\in E\}$ (Inégalité triangulaire dans $\mathbb{R}$)
$|(f+g)(x)| = |f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)| \leq ||f||_{\infty}+||g||_{\infty}$

Ainsi $\forall x\in E, |(f+g)(x)|\leq ||f||_{\infty}+||g||_{\infty}$
Donc $f+g$ est majorée et $||f||_{\infty}+||g||_{\infty}$ est un majorant de $A = \{|(f+g)(x)|/x\in E\}$
Or $||f+g||_{\infty}\leq ||f||_{\infty}+||g||_{\infty}$
Donc $||f+g||_\infty\leq ||f||_\infty+||g||_\infty$

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