Chapitre 3 : Fonctions usuelles

Définition $$\displaystyle{} \cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ $$\displaystyle{} \ch(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$$ $$\displaystyle{}\sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ $$\displaystyle{}\sh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$$ $$\cos^2(x)+\sin^2(x) = 1$$ $$\ch^2(x)-\sh^2(x) = 1$$ Duplication $$\begin{array}{ccc}\cos(2x) &=& \cos^2(x)-\sin^2(x)\\ &=& 2\cos^2(x)-1 \\ &=& 1-2\sin^2(x) \\ \sin(2x) &=& 2\sin(x).\cos(x) \end{array}$$ $$\begin{array}{ccc} \ch(2x) &=& \ch^2(x) + \sh^2(x)\\ &=& 2\ch^2(x) -1\\ &=& 1+2\sh^2(x)\\ \sh(2x) &=& 2\sh(x).\ch(x) \end{array}$$ Linéarisation $$\displaystyle{}\cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}$$ $$\displaystyle{}\ch^2(x) = \frac{1+\ch^2(x)}{2}$$ $$\displaystyle{}\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}$$ $$\displaystyle{}\sh^2(x) = \frac{\ch(2x)-1}{2}$$ Somme $$\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$$ $$\ch(a+b) = \ch(a)\ch(b)+\sh(a)\sh(b)$$ $$\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$$ $$\ch(a-b) = \ch(a)\ch(b)-\sh(a)\sh(b)$$ $$\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b)+\sin(b)\sin(a)$$ $$\sh(a+b) = \sh(a)\ch(b) + \sh(b)\ch(a)$$ $$\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \sin(b)\cos(a)$$ $$\sh(a-b) = \sh(a)\ch(b) - \sh(b)\ch(a)$$ $$\displaystyle{} \tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$$ $$\displaystyle{} \th(a+b) = \frac{\th(a)+\th(b)}{1+\th(a)\th(b)}$$ Somme $\rightarrow$ produit (sicocosicoco -sisi) $$\displaystyle{} \sin(a)+\sin(b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$$ $$\displaystyle{}\sh(a)+\sh(b) = 2\sh\left(\frac{a+b}{2}\right)\ch\left(\frac{a-b}{2}\right)$$ $$\displaystyle{} \sin(a)-\sin(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)$$ $$\displaystyle{}\sh(a)-\sh(b) = 2\ch\left(\frac{a+b}{2}\right)\sh\left(\frac{a-b}{2}\right)$$ $$\displaystyle{} \cos(a)+\cos(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$$ $$\displaystyle{}\ch(a)+\ch(b) = 2\ch\left(\frac{a+b}{2}\right)\ch\left(\frac{a-b}{2}\right)$$ $$\displaystyle{} \cos(a)-\cos(b) = -2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)$$ $$\displaystyle{}\ch(a)-\ch(b) = 2\sh\left(\frac{a+b}{2}\right)\sh\left(\frac{a-b}{2}\right)$$ Produit $\rightarrow$ somme $$\displaystyle{}\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]$$ $$\displaystyle{}\sh(a)\ch(b) = \frac{1}{2}[\sh(a+b)+\sh(a-b)]$$ $$\displaystyle{}\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]$$ $$\displaystyle{}\ch(a)\ch(b) = \frac{1}{2}[\ch(a+b)+\ch(a-b)]$$ $$\displaystyle{}\sin(a)\sin(b) = -\frac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)]$$ $$\displaystyle{}\sh(a)\sh(b) = \frac{1}{2}[\ch(a+b)-\ch(a-b)]$$

Rappel : le graphe de $f$ est $G_f = \{ x;f(x) / x\in I \}\subset I\times J\subset \mathbb{R}^2$
$\begin{array}{lccl} \text{symétrie par rapport à }\Delta_1\text{ : } s : & \mathbb{R}^2 & \to & \mathbb{R}^2\\ & (x;y) & \mapsto & (y;x) \end{array}$

Échange de coordonnées :
Soit $x\in I$. Ainsi $(x,f'(x))\in \mathscr{C}_f$
On pose $y = f(x)$ i.e. $x = f^{-1}(y)$ $$s\left[ x,f(x) \right] = \left( f(x),x \right) = (y;f^{-1}(y))\in \mathscr{C}_{f^{-1}}$$

Formule pour $\left(f^{-1}\right)'$ - on ne divise pas, car $f'>0$ sur $I$
- on l'obtient en dérivant la relation
$\forall x\in J, f\left[f^{-1}(x)\right]=x$
$\forall x\in J, \left(f^{-1}\right)'(x) \times f'\left[ f^{-1}(x) \right] = 1$
Cette dernière équation prouve que si $f^{-1}$ est dérivable en $x\in J$, alors si $y = f^{-1}(x)$, alors $f'(y) \neq 0$.

Lorsque $f'$ s'annule en $x\in \mathbb{R}$ alors $f^{-1}$ n'est pas dérivable.

$\begin{array}{lccl} \text{Soit } f : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R}\\ & x & \mapsto & x^3 \end{array}$
$f$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ($\forall x\in\mathbb{R}, f'(x) = 3x^2 \geq 0$ et $f'(x) = 0$ ssi $x=0$)
D'après le théorème de la bijection continue, $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $f(\mathbb{R})$ et la réciproque $f^{-1} : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est automatiquement continue. Dérivabilité : On applique le théorème de la bijection dérivable uniquement sur les intervalles $\mathbb{R}_+^*$ et $\mathbb{R}_-^*$ car $f$ ne s'y annule pas. Donc $\sqrt[3]{.}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$.
Cependant $f'(0)=0$ donc $\sqrt[3]{\bullet}$ n'est pas dérivable en zéro (tangente verticale)

$\sin : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ n'est pas bijective.
$\begin{array}{lccl} \text{Cependant, soit }\varphi : &\displaystyle{} \left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right] & \to & [-1;1]\\ & x & \mapsto & \sin(x) \end{array}$
J'affirme que $\varphi$ est bijective.
En effet : si $\displaystyle{}x\in \left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$, $\varphi'(x) = \cos(x)\geq 0$ car $x\in \left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$ et $\varphi'$ s'annule deux fois $\left( \pm \frac{\pi}{2} \right)$
$\varphi$ est donc strictement croissante (donc injective) et $\Ima f = [-1;1]$ donc $\varphi$ est surjective.

$\varphi$ est strictement croissante et continue donc d'après le théorème de la bijection continue. $\displaystyle{} \varphi^{-1} = [-1;1]\to \left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$ est automatiquement continue. Dérivabilité de $\varphi^{-1}$ : si $\displaystyle{}x\in \left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$
$\begin{array}{ccc} \varphi'(x)=0 & \text{ssi} & \cos(x)=0\\ & \text{ssi} & \displaystyle{} x\in \left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right] \end{array}$
Donc $\arcsin$ admet des tangentes verticales en $\displaystyle{}\varphi\left( \frac{\pi}{2} \right)$ et $\displaystyle{}\varphi\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ i.e. en -1 et 1.
Elle est dérivable sur $[-1;1]$ et si $\displaystyle{}x\in ]-1;1[, \left(\varphi^{-1}\right)'(x) = \frac{1}{\varphi'\left[ \varphi^{-1}(x) \right]} = \frac{1}{\cos[\arcsin(x)]}$
On veut simplifier cette expression, en utilisant $\forall x\in [-1;1]$, $\sin(arcsin(x)) = x$
Si $\theta\in\mathbb{R}$, $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$
Donc $\cos^2(\theta) = 1-\sin^2(\theta)$
Ainsi $\sqrt{\cos^2(\theta)} = \sqrt{1-\sin^2(\theta)}$
Donc $|\cos(\theta)| = \sqrt{1-\sin^2(\theta)}$
Avec $\theta = \arcsin$, $\displaystyle{}x\in \left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$, on a $\cos(\theta) \geq 0$ donc $|\cos(\theta)|=\cos(\theta)$

Ainsi \begin{eqnarray*} \left(\varphi^{-1}\right)'(x) &=& \frac{1}{\cos(\arcsin(x))}\\ &=& \frac{1}{|\cos(\arcsin(x))|}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{eqnarray*} Graphe :

Valeurs élémentaires :

$$\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\hspace{20pt}\arcsin(0) = 0 \hspace{20pt} \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$$ $$\arcsin\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\pi}{4} \text{ car }\frac{\pi}{4}\in \left[ -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right] \text{ et }\sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Graphe :

Si $x\in[-1;1]$, $\arccos(x)$ est l'unique angle de $[0;\pi]$ dont le cosinus vaut $x$
$x\in[-1;1]$ et $y = \arccos(x)$ $\Leftrightarrow$ $y\in[0;\pi]$ et $\cos(y)=x$

Valeurs élémentaires : $$\arccos(1) = 0\hspace{20pt} \arccos\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3}\hspace{20pt}\arccos(-1) = \pi$$ $$\arccos\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{6}\hspace{20pt}\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$$ Graphe :

Valeurs élémentaires :

$\arctan(0) = 0$ car $\displaystyle{} \left] -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right[$ et $\tan(0) = 0$
$\displaystyle{}\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ car $\displaystyle{}\frac{\pi}{4}\in \left] -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right[$ et $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$\arctan(-1) = -\frac{pi}{4}$ car $\arctan$ est impaire
$\displaystyle{}\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ car $\displaystyle{}\frac{\pi}{3}\in \left] -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right[$ et $\displaystyle{}\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Fonctions}&\mathscr{D}_f&\text{Dérivées}&\mathscr{D}_{f'}\\ \hline x^n (n\in\mathbb{N}^*) & \mathbb{R} & nx^{n-1}&\mathbb{R}\\ \hline x^{\alpha} (\alpha \in \mathbb{R}^*) & \mathbb{R}_+^* & \alpha x^{\alpha-1} & \mathbb{R}_+^*\\ \hline \displaystyle{}\frac{1}{x^n} (n\in\mathbb{N}^*) & \mathbb{R}^* & \displaystyle{}\frac{-n}{x^{n+1}} & \mathbb{R}^*\\ \hline e^x & \mathbb{R} & e^x & \mathbb{R}\\ \hline \ln(x) & \mathbb{R}_+^* &\displaystyle{} \frac{1}{x} & \mathbb{R}_+^*\\ \hline \sin(x) & \mathbb{R} & \cos(x) & \mathbb{R}\\ \hline \cos(x) & \mathbb{R} & -\sin(x) & \mathbb{R}\\ \hline \tan(x) & \displaystyle{}\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}\} & \displaystyle{}1+\tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} &\displaystyle{} \mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}\}\\ \hline \arcsin(x) & [-1;1] & \displaystyle{}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & ]-1;1[ \\ \hline \arccos(x) & [-1;1] & \displaystyle{}\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} & ]-1;1[ \\ \hline \arctan(x) & \mathbb{R} & \displaystyle{}\frac{1}{1+x^2} & \mathbb{R}\\ \hline sh(x) & \mathbb{R} & ch(x) & \mathbb{R}\\ \hline ch(x) & \mathbb{R} & sh(x) & \mathbb{R}\\ \hline th(x) & \mathbb{R} & 1-th^2(x) = \displaystyle{}\frac{1}{ch^2(x)} & \mathbb{R}\\ \hline \end{array}$$

• $\sin(\arcsin(x)) = x$ pour $x\in [-1;1]$
• $\cos(\arccos(x)) = x$ pour $x\in [-1;1]$
• $\tan(\arctan(x)) = x$ pour $x\in\mathbb{R}$
• $\arcsin(\sin(x)) = x$ pour $\displaystyle{}x\in \left[ -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]$
• $\arccos(\cos(x)) = x$ pour $x\in [0;\pi]$
• $\arctan,(\tan(x)) = x$ pour $\displaystyle{}x\in \left] -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right[$