1. Donner les formules de Moivre et Euler.
Théorème : Formule de Moivre
Soient $x\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$
$$\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)^n = \cos(nx)+i\sin(nx)$$
Théorème : Formules de Euler
Soit $x\in\mathbb{R}$
$$\cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\hspace{40pt}\sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$
2. SAVOIR REFAIRE : linéariser $\sin^3(x)$, puis $\cos^3(x).\sin^3(x)$ avec $x\in\mathbb{R}$
Linéariser $\sin^(x)$ \begin{eqnarray*} \sin^3(x) &=& \left( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right)^3\\ &=& \frac{1}{(2i)^3}(e^{ix}-e^{-ix})\\ &=& \frac{1}{(2i)^3} [e^{i3x}-3e^{i2x}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-ix}-e^{-i3x}]\\ &=& \frac{1}{(2i)^3} [e^{i3x}-e^{-i3x}-3(eix-e^{-ix})]\\ &=& \frac{1}{(2i)^2} [\sin(3x)-3\sin(x)] \end{eqnarray*} Donc $\displaystyle{} \sin^3(x) = \frac{1}{(2i)^2}[3\sin(x)-\sin(3x)]$
Linéariser $\cos^3(x)\times \sin^3(x)$ \begin{eqnarray*} \cos^3(x)\times \sin^3(x) &=& \left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right)^3 \times \left( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right)^3\\ &=& \frac{1}{2^3}[e^{i3x}+3e^{i2x}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-i2x}+e^{-i3x}]\times\frac{1}{(2i)^3} [e^{i3x}-3e^{i2x}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-ix}-e^{-i3x}]\\ &=& \frac{1}{2^3}[e^{i3x}+e^{-i3x}+3(e^{ix}+e^{-ix})]\times\frac{1}{(2i)^3} [e^{i3x}-e^{-i3x}-3(eix-e^{-ix})]\\ &=& \frac{1}{2^2}[\cos(3x)+3\cos(x)]\times\frac{1}{(4)}[3\sin(x)-\sin(3x)]\\ &=& \frac{1}{16} [\cos(3x)+3\cos(x)][3\sin(x)-\sin(3x)] \end{eqnarray*}
3. SAVOIR REFAIRE : montrer que $\displaystyle{} \sum_{k=0}^n \cos(kx) = \frac{1}{2}\left( \frac{\sin[(2n+1)\frac{x}{2}]}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)} + 1 \right)$
On utilise $\cos(\theta) = \Re(e^{i\theta})$ $$S_n = \sum_{k=0}^n \Re(e^{ikx}) = \Re \underbrace{\left(\sum_{k=0}^n e^{ikx}\right)}_{\hat S_n}\hspace{20pt}\text{car }\Re(z+z')=\Re(z)+\Re(z')$$ On calcule $\displaystyle{}\hat S_n = \sum_{k=0}^n (e^{ix})^k$
$1^{\text{er}}$ cas : $e^{ix} = 1$, alors $\hat S_n = n+1$ donc $S_n = \Re(n+1) = n+1$ i.e. $x\in 2\pi\mathbb{Z}$
$2^{\text{ème}}$ cas : si $e^{ix}\neq 1$ i.e. $x\not\in 2\pi\mathbb{Z}$ alors $\displaystyle{}\hat S_n = \frac{1-e^{ix(n+1)}}{1-e^{ix}}$
On utilise la demi somme en facteur \begin{eqnarray*} \hat S_n &=& \frac{\displaystyle{}\hspace{2pt}\frac{e^{i\frac{x(n+1)}{2}}\left[ e^{-i\frac{x(n+1)}{2}}-e^{i\frac{x(n+1)}{2}}\right]}{2i}\hspace{2pt}}{\displaystyle{}\frac{e^{i\frac{x}{2}}\left[ e^{-i\frac{x}{2}}-e^{i\frac{x}{2}} \right]}{2i}}\\ &=& \frac{e^{i\frac{x(n+1)}{2}}}{e^{i\frac{x}{2}}} \times \frac{-\sin\left( \frac{x(n+1)}{2} \right)}{-\sin\left( \frac{x}{2} \right)}\\ &=& \frac{\sin\left( \frac{x(n+1)}{2} \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)} \times e^{i\frac{xn}{2}} \end{eqnarray*} Donc \begin{eqnarray*} S_n &=& \Re(\hat S_n)\\ &=& \Re\left( \frac{\sin\left( \frac{x(n+1)}{2} \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)} \times e^{i\frac{xn}{2}} \right)\\ &=& \frac{\sin\left( \frac{x(n+1)}{2} \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)} \times \Re\left(e^{i\frac{xn}{2}}\right)\\ &=& \frac{\sin\left( \frac{x(n+1)}{2} \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)} \times \cos\left( \frac{xn}{2} \right) \hspace{20pt}\text{car }\Re(e^{i\theta}) = \cos(\theta) \end{eqnarray*} $$\sin(a)\cos(b) = \frac{1}{2}\left[ \sin(a+b)+\sin(a-b) \right]$$ \begin{eqnarray*} S_n &=& \frac{1}{2} \frac{1}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\left[ \sin\left( \frac{x}{2}(2n+1) \right) + \sin\left( \frac{x}{2} \right) \right]\\ &=& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{\sin\left( \frac{x}{2}(2n+1) \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)}\\ &=& \frac{1}{2}\left( \frac{\sin\left( (2n+1)\frac{x}{2} \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)} + 1 \right) \end{eqnarray*}
4. SAVOIR REFAIRE : pour $n\in\mathbb{N}^*$, $x\in\mathbb{R}$, exprimer $\cos(nx)$ comme un polynômes en $\cos(x)$. Définir alors le $n$-ième polynôme de Tchebychev.
Soient $n\in\mathbb{N}, x\in\mathbb{R}$ \begin{eqnarray*} \cos(nx) &=& \Re(e^{inx})\\ &=& \Re\left[ (e^{ix})^n \right]\\ &=& \Re\left[ (\cos(x) + i\sin(x))^n \right]\\ &=& \Re\left( \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} (i\sin(x))^k(\cos(x))^{n-k} \right) \end{eqnarray*} Or si $k\in\mathbb{N}$, $i^k\in\mathbb{R}$ ssi $k$ est pair i.e. $k = 2p$ où $p\in\mathbb{R}$
Ainsi $$\cos(nx) = \sum_{a\leq 2p\leq n} \begin{pmatrix}n\\2p\end{pmatrix}i^{2p}(\sin(x))^{2p}(\cos(x))^{n-2p}$$ Donc $\displaystyle{}\cos(nx) = \sum_{a\leq 2p\leq n} \begin{pmatrix}n\\2p\end{pmatrix} (-1)^p(1-\cos^2(x))^p(\cos(x))^{n-2p}$
On pose $\displaystyle{}T_n(X) = \sum_{a\leq 2p\leq n} \begin{pmatrix}n\\2p\end{pmatrix}(X^2-1)^p X^{n-2p}$ appelé $n^{\text{ième}}$ pôlynome de Tchebychev.
Ainsi $\forall n\in\mathbb{N}, \cos(nx) = T_n(\cos(x))$
5. Définir l'affixe d'un point ou d'un vecteur du plan en repère orthonormé.
Définition :
On appelle affixe du point $M(x,y)$ le complexe $z = x+iy$.On appelle affixe du vecteur $\overrightarrow{u}(x,y)$ le complexe $z = x+iy$
6. Si $A$ et $B$ sont les points du plan d'affixe $z_A$ et $z_B$, exprimer en fonction de ces nombres complexes l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$, celle du milieu de $[AB]$, la distance $AB$.
Théorème :
Si $A$ d'affixe $z_A\in\mathbb{C}$ et $B$ d'affixe $z_B\in\mathbb{C}$, alors1. $\overrightarrow{AB}$ est d'affixe $z_B-z_A$
2. $AB = |z_B-z_A|$
3. L'affixe du milieu de $[AB]$ est $\displaystyle{}\frac{z_A+z_B}{2}$
7.Angles, alignement, parallélisme et orthogonalité : soient $A$, $B$, $C$, $D$ des points du plan d'affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$, $z_D$ dans $\mathbb{C}$. Exprimer modulo $2\pi$ la mesure de l'angle $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD})$. En déduire la caractérisation algébrique des 3 situations suivantes où l'on suppose $A$, $B$, $C$, $D$ deux à deux distincts :
- $A$, $B$, $C$ alignés ;
- $(AB) \perp (CD)$ ;
- $(AB) /\!/(CD)$
Théorème :
Soient $A,B,C,D$ des points d'affixes respectives $z_A,z_B,z_C,z_D$ dans $\mathbb{C}$Alors $\displaystyle{}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) = \text{Arg}\left( \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right) [2\pi]$
Corollaire :
Alignement de 3 points :$\begin{array}{lcl} A,B,C\text{ alignés} & \text{ssi} & (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \equiv 0[\pi]\\ & \text{ssi} & \displaystyle{}\arg\left( \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \right) \equiv 0 [\pi]\\ & \text{ssi} & \displaystyle{}\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R} \end{array}$
Orthogonalité :
$\begin{array}{lcl} (AB)\perp(CD) & \text{ssi} & \displaystyle{}(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) \equiv \frac{\pi}{z}[\pi]\\ & \text{ssi} & \displaystyle{} \text{Arg}\left( \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right) \equiv \frac{\pi}{z}[\pi]\\ & \text{ssi} & \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \in i\mathbb{R} \end{array}$
Parallélisme :
$\begin{array}{lcl} (AB)//(CD) & \text{ssi} & (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) \equiv 0[\pi]\\ & \text{ssi} & \displaystyle{}\arg\left( \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right) \equiv 0 [\pi]\\ & \text{ssi} & \displaystyle{}\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb{R} \end{array}$
8. SAVOIR REFAIRE : trouver l'ensemble des $z$ dans $\mathbb{C}$ tels que les points d'affixes $1$, $z$ et $z^3$ soient alignés.
$1^{\text{er}}$ cas : Cas des ponts confondus
$A=B\Leftrightarrow z=1$
$A=C\Leftrightarrow z^3 = 1 \Leftrightarrow z\in R_3 = \{i,j,\overline{j}\}$
$B=C\Leftrightarrow z = z^3 \Leftrightarrow z(1-z^2)=0\Leftrightarrow z\in\{0;1;-1\}$
$2^{\text{nd}}$ cas : Cas des points deux à deux distincts
$$\begin{array}{lcl} A,B,C\text{ alignés} & \Leftrightarrow & (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) \equiv 0[\pi]\\ & \Leftrightarrow & \displaystyle{}\arg\left( \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \right) \equiv 0 [\pi]\\ & \Leftrightarrow & \displaystyle{}\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}\\ & \Leftrightarrow & \displaystyle{}\frac{z^3-1}{z-1}\in\mathbb{R}\\ \displaystyle{}\frac{1-z^3}{1-z}\in\mathbb{R} & \Leftrightarrow & 1+z+z^3\in\mathbb{R} \hspace{20pt}\text{suite géométrique}\\ & \Leftrightarrow & z+z^2\in\mathbb{R}\\ & \Leftrightarrow & z+z^2 = \overline{z+z^2}\\ & \Leftrightarrow & z+z^2 = \overline{z}+\overline{z^2}\\ & \Leftrightarrow & z-\overline{z} + z^2-\overline{z^2} = 0\\ & \Leftrightarrow & (z-\overline{z})(1+z+\overline{z}) = 0\\ & \Leftrightarrow & \displaystyle{}\left\lbrace \begin{array}{cl} & z = \overline{z}\\ \text{ou} & 1+2\Re(z) = 0 \end{array} \right.\\ & \Leftrightarrow & \displaystyle{} \left\lbrace \begin{array}{cl} & z\in\mathbb{R}\\ \text{ou} & \Re(z) = -\frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array}$$
9. Pour $a\in\mathbb{C}$, indiquer la transformation algébrique correspondant à la translation du plan de vecteur d'affixe $a$.
Théorème :
La translation de vecteur $a$ est l'application
$$\begin{array}{lccl}
t_a : \mathbb{C} & \to & \mathbb{C}\\
& z & \mapsto & z+a
\end{array}$$
10. Pour $\omega\in\mathbb{C}$ et $\theta\in\mathbb{R}$, quelle est la transformation algébrique correspondant à la rotation du plan de centre d'affixe $\omega$ et d'angle $\theta$ dnas le sens trigonométrique ?
Théorème :
L'homothétie de centre $\omega$ de rapport $\lambda$ est l'application
$$\begin{array}{lccl}
h(\omega,\lambda) : & \mathbb{C} & \to & \mathbb{C}\\
& z & \mapsto & \lambda(z-\omega)+\omega
\end{array}$$
11. Même question pour $\lambda\in\mathbb{R}$ et l'homothétie de centre d'affixe $\omega$ et de rapport $\lambda$.
Théorème :
La rotation de centre $\omega$, d'angle $\theta$ est l'application
$$\begin{array}{lccll}
r(\omega,\theta) : & \mathbb{C} & \to & \mathbb{C}\\
& z & \mapsto & e^{i\theta}(z-\omega)+\omega
\end{array}$$
12. Donner la définition algébrique d'une similitude directe dans le plan complexe.
Définition :
Soient $a\in\mathbb{C}^*$ et $b\in\mathbb{C}$, une application de la forme
$$\begin{array}{lccl}
s : & \mathbb{C} & \to & \mathbb{C}\\
& z & \mapsto & az+b
\end{array}$$
est appelé similitude directe du plan complexe.
13. SAVOIR REFAIRE : montrer qu'une similitude directe conserve les angles orientés et les rapports de longueur.
$\begin{array}{lccl} \text{Soient } s : & \mathbb{C} & \to & \mathbb{C} \hspace{20pt} \text{où } a\in\mathbb{C}^* \text{ et } b\in\mathbb{C}\\ & z & \mapsto & az+b \end{array}$
$A_1,A_2,A_3,A_4$ quatre points du plan d'affixes respectives $z_1,z_2,z_3,z_4$ et deux à deux distincts. On note $A_1',A_2',A_3',A_4',$ leur image "par $s$" d'affixes respectives $z_1',z_2',z_3',z_4'$
Rapports de longueur : \begin{eqnarray*} \frac{A_1'A_2'}{A_3'A_4'} &=& \left| \frac{z_2'-z_1'}{z_4'-z_3'}\right|\\ &=& \left| \frac{az_2+b-(az_1+b)}{az_4+b-(az_3+b)} \right|\\ &=& \frac{|a||z_2-z_1|}{|a||z_4-z_3|}\\ &=& \frac{A_1A_2}{A_3A_4} \end{eqnarray*} Donc $s$ conserve les rapports de longueurs.
Angles orientés : \begin{eqnarray*} (\overrightarrow{A_1'A_2',A_3'A_4'}) &\equiv& \text{Arg}\left( \frac{z_4'-z_3'}{z_2'-z_1'} \right) [2\pi]\\ &\equiv& \text{Arg}\left( \frac{az_4+b-(az_3+b)}{az_2+b-(az_1+b)} \right) [2\pi]\\ &\equiv& \text{Arg}\left( \frac{Z_4-z_3}{z_2-z_1} \right)[2\pi] \end{eqnarray*} Donc $(\overrightarrow{A_1'A_2',A_3'A_4'})\equiv (\overrightarrow{A_1A_2,A_3A_4})[2\pi]$.
Donc $s$ conserve les angles orientés.
14. Pour $a$, $b$ dans $\mathbb{C}$, $a\neq 0$, soit $s : z\mapsto az+b$ (de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$). Décomposer la similitude directe $s$ en composée de transformations élémentaires (translations, rotation, homothéties), dont on exprimera les éléments caractéristiques en fonction de $a$ et $b$.
Théorème :
$\begin{array}{lccl}
\text{Soient } s : & \mathbb{C} & \to & \mathbb{C} \hspace{20pt} \text{où } a\in\mathbb{C}^* \text{ et } b\in\mathbb{C}\\
& z & \mapsto & az+b
\end{array}$1. Si $a = 1$, alors $s$ est une translation.
2. Si $a\neq 1$, alors $s$ admet un unique point fixe $\omega$ i.e. $\exists! \omega\in\mathbb{C}, s(\omega) = \omega$ et si $a = fe^{i\theta}$ ($f>0, \theta\in\mathbb{R}$) alors $$\begin{array}{lccl} s : & \mathbb{C} & \to & \mathbb{C}\\ & z & \mapsto & fe^{i\theta}(z-\omega)+\omega \end{array}$$ et $s = h\circ r = r\circ h$ où $h$ est l'homothétie de centre $\omega$ et de rapport $|a| = f$ et $r$ est la rotation de centre $\omega$ et d'angle $\theta \equiv \text{Arg}(a)[2\pi]$
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